Énoncés
III.2.31. On pose f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n+1 ln
1 +
x
n
pour x ∈ R + . Montrer que f
est dérivable sur R + et calculer f (0), f (1) et lim
x→+∞
f (x).
III.2.32. On pose
f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n+1 1
√
n
Arctan
x
√
n
, x ∈ R.
Prouver que f est continûment dérivable sur R.
III.2.33. Prouver que la fonction
f (x) =
+∞
n=1
sin
nx 2
1 + n 3 , x ∈ R,
est continûment dérivable sur R.
III.2.34. On pose
f (x) =
+∞
n=1
√
n (tan x)
n , x ∈
−
π
4
,
π
4
.
Prouver que f est continûment dérivable sur
−
π
4 ,
π
4
.
III.2.35. On définit
f (x) =
+∞
n=0
e −nx
1 + n 2 , x ∈ R + .
Prouver que f ∈ C [0,+∞[ , f ∈ C ∞
]0,+∞[ et f (0) n’existe pas.
III.2.36. Montrer que la fonction
f (x) =
+∞
n=1
|x|
x 2 + n 2
est continue sur R. Est-elle dérivable sur R ?
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