Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.2.24. Soit f n (n ∈ N ∗ ) des fonctions monotones sur [a , b]. Prouver que
si
+∞
n=1
f n (x) est absolument convergente aux extrémités de [a , b], alors la série
+∞
n=1
f n (x) est normalement convergente sur tout l’intervalle [a , b].
III.2.25. Soit
+∞
n=1
1
|an| une série convergente. Prouver que la série
+∞
n=1
1
x−an
converge normalement sur chaque ensemble borné A ne contenant aucun des a n
(n ∈ N ∗ ).
III.2.26. Soit {a n } une suite réelle. Démontrer que si la série de Dirichlet
+∞
n=1
an
n x
converge en x = x 0 , elle converge alors uniformément sur [x 0 , +∞[.
III.2.27. Étudier la convergence uniforme sur R de la série
+∞
n=1
x
sin
n 2 x
n 2
.
III.2.28. Soit f n (n ∈ N ∗ ) des fonctions dérivables sur [a , b] telles que
+∞
n=1
f n (x)
converge en un point x 0 ∈ [a , b] et
+∞
n=1
f
n (x) converge uniformément sur [a , b].
Démontrer que
+∞
n=1
f n (x) converge uniformément sur [a , b] vers une fonction dérivable et
+∞
n=1
f n (x)
=
+∞
n=1
f
n (x) pour x ∈ [a , b].
III.2.29. Montrer que f (x) =
+∞
n=1
1
n 2 +x 2 est dérivable sur R.
III.2.30. Montrer que la fonction
f (x) =
+∞
n=1
cos(nx)
1 + n 2
est dérivable sur
π
6 ,
11π
6
.
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