Énoncés
III.2.18. Vérifier les propositions suivantes :
(a)
lim
x→1 −
+∞
n=1
(−1)
n+1
n
x
n = ln 2,
(b)
lim
x→1
+∞
n=1
(−1)
n+1
n x
= ln 2,
(c)
lim
x→1 −
+∞
n=1
x
n
− x
n+1
= 1,
(d)
lim
x→0 +
+∞
n=1
1
2 n n x = 1,
(e)
lim
x→+∞
+∞
n=1
x 2
1 + n 2 x 2 =
π 2
6
.
III.2.19. Soit
+∞
n=1
a n une série convergente. Déterminer
lim
x→1 −
+∞
n=1
a n x
n .
III.2.20. Soit f n (n ∈ N ∗ ) des fonctions continues sur [0 , 1] telles que
+∞
n=1
f n (x)
converge uniformément sur [0 , 1[. Prouver que la série
+∞
n=1
f n (1) converge.
III.2.21. Trouver le domaine de convergence simple A de la série
+∞
n=1
e −nx cos(nx). La série converge-t-elle uniformément sur A ?
III.2.22. Soit f n : [a , b] −→ R ∗
+ (n ∈ N ∗ ) des fonctions continues telles que
f (x) =
+∞
n=1
f n (x) soit continue sur [a , b]. Démontrer que la série
+∞
n=1
f n (x) converge
uniformément sur cet intervalle.
III.2.23. Soit
+∞
n=1
f n (x) une série normalement convergente sur A. La série
+∞
n=1
|f n (x)| doit-elle être uniformément convergente sur A ?
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