Chapitre III. Suites et séries de fonctions
(3) la série
+∞
n=1
g n (x) converge uniformément sur A.
Prouver que la série
+∞
n=1
f n (x)g n (x) converge uniformément sur A.
En déduire le test de convergence uniforme d’Abel . On considère les fonctions
f n , g n : A −→ R (n ∈ N ∗ ) vérifiant les conditions suivantes :
(1’) pour tout x ∈ A, la suite {f n (x)} est monotone,
(2’) la suite {f n } est uniformément bornée sur A,
(3’) la série
+∞
n=1
g n (x) converge uniformément sur A.
La série
+∞
n=1
f n (x)g n (x) converge alors uniformément sur A.
III.2.16. Montrer que les séries suivantes convergent uniformément sur l’ensemble A donné.
(a)
+∞
n=1
(−1)
n+1
n + x 2 Arctan(nx), A = R,
(b)
+∞
n=2
(−1)
n+1 cos
x
n
√
n + cos x
, A = [−R , R], R > 0,
(c)
+∞
n=1
(−1) [
√
n]
n(n + x)
, A = R + .
III.2.17. Soit f n (n ∈ N ∗ ) des fonctions continues sur A telles que la série
+∞
n=1
f n (x) converge uniformément sur A. Prouver que si x 0 ∈ A est un point
d’accumulation de A, alors
lim
x→x 0
+∞
n=1
f n (x) =
+∞
n=1
f n (x 0 ).
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(3) la série
+∞
n=1
g n (x) converge uniformément sur A.
Prouver que la série
+∞
n=1
f n (x)g n (x) converge uniformément sur A.
En déduire le test de convergence uniforme d’Abel . On considère les fonctions
f n , g n : A −→ R (n ∈ N ∗ ) vérifiant les conditions suivantes :
(1’) pour tout x ∈ A, la suite {f n (x)} est monotone,
(2’) la suite {f n } est uniformément bornée sur A,
(3’) la série
+∞
n=1
g n (x) converge uniformément sur A.
La série
+∞
n=1
f n (x)g n (x) converge alors uniformément sur A.
III.2.16. Montrer que les séries suivantes convergent uniformément sur l’ensemble A donné.
(a)
+∞
n=1
(−1)
n+1
n + x 2 Arctan(nx), A = R,
(b)
+∞
n=2
(−1)
n+1 cos
x
n
√
n + cos x
, A = [−R , R], R > 0,
(c)
+∞
n=1
(−1) [
√
n]
n(n + x)
, A = R + .
III.2.17. Soit f n (n ∈ N ∗ ) des fonctions continues sur A telles que la série
+∞
n=1
f n (x) converge uniformément sur A. Prouver que si x 0 ∈ A est un point
d’accumulation de A, alors
lim
x→x 0
+∞
n=1
f n (x) =
+∞
n=1
f n (x 0 ).
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