Énoncés
En déduire le test de convergence uniforme de Dirichlet . Soit f n , g n : A −→ R
(n ∈ N ∗ ) des fonctions vérifiant les conditions suivantes :
(1’) pour tout x ∈ A, la suite {f n (x)} est monotone,
(2’) {f n (x)} converge uniformément vers 0 sur A,
(3’) la suite des sommes partielles de la série
+∞
n=1
g n (x) est uniformément bornée
sur A.
La série
+∞
n=1
f n (x)g n (x) converge alors uniformément sur A.
III.2.14. Montrer que les séries suivantes convergent uniformément sur l’ensemble A indiqué :
(a)
+∞
n=1
(−1)
n+1 x n
n
, A = [0 , 1],
(b)
+∞
n=1
sin(nx)
n
, A = [δ , 2π − δ], 0 < δ < π,
(c)
+∞
n=1
sin
n 2 x
sin(nx)
n + x 2
, A = R,
(d)
+∞
n=1
sin(nx) Arctan(nx)
n
, A = [δ , 2π − δ], 0 < δ < π,
(e)
+∞
n=1
(−1)
n+1 1
n x , A = [a , +∞[ , a > 0,
(f)
+∞
n=1
(−1)
n+1
e −nx
√
n + x 2
, A = R + .
III.2.15. Soit f n , g n : A −→ R (n ∈ N ∗ ) des fonctions vérifiant les conditions
suivantes :
(1) la fonction f 1 est bornée sur A,
(2) la série
+∞
n=1
|f n+1 (x) − f n (x)| converge simplement sur A et
sup
x∈A
+∞
n=1
|f n+1 (x) − f n (x)|
< +∞,
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