Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.2.10. Prouver la convergence uniforme sur R des séries suivantes.
(a)
+∞
n=1
(−1)
n+1
n + x 2 ,
(b)
+∞
n=1
(−1)
n+1
3
√
n + x 2 + x 2
,
(c)
+∞
n=2
(−1)
n+1
√
n + cos x
.
III.2.11. Prouver que si
+∞
n=1
f 2
n (x) converge simplement sur A, si
sup
x∈A
+∞
n=1
f
2
n (x)
< +∞
et si
+∞
n=1
c 2
n converge, alors
+∞
n=1
c n f n (x) converge uniformément sur A.
III.2.12. Déterminer le domaine de convergence simple A et le domaine de
convergence absolue B des séries suivantes. De plus, étudier la convergence uniforme sur l’ensemble C donné.
(a)
+∞
n=1
2 n
n
(3x − 1)
n ,
C =
1
6
,
1
3
,
(b)
+∞
n=1
1
n
x + 1
x
n
,
C = [−2 , −1].
III.2.13. Soit f n , g n : A −→ R (n ∈ N ∗ ) des fonctions vérifiant les conditions
suivantes :
(1) la série
+∞
n=1
|f n+1 (x) − f n (x)| converge uniformément sur A,
(2) sup
x∈A
|f n (x)| − −−−− →
n→+∞
0,
(3) la suite {G n (x)}, où G n (x) =
n
k=1
g k (x), est uniformément bornée sur A.
Prouver que la série
+∞
n=1
f n (x)g n (x) converge uniformément sur A.
278