Énoncés
III.2.5. Étudier la continuité de la somme des séries suivantes sur leur domaine
de convergence simple :
(a)
+∞
n=0
x n sin(nx)
n!
,
(b)
+∞
n=0
x
n 2 ,
(c)
+∞
n=1
n2
n x
n ,
(d)
+∞
n=1
ln
n (x + 1).
III.2.6. Déterminer où la série
+∞
n=1
|x|
√
n converge simplement et étudier la continuité de la somme.
III.2.7. Démontrer que la série
+∞
n=1
x sin(n 2 x)
n 2
converge simplement vers une fonction continue sur R.
III.2.8. Soit
+∞
n=1
f n (x), x ∈ A, une série uniformément convergente sur A et
f : A −→ R une fonction bornée. Prouver que la série
+∞
n=1
f (x)f n (x) converge
uniformément sur A.
Montrer sur un exemple que le fait que f soit bornée est essentiel. Sous quelles
hypothèses sur f la convergence uniforme de la série
+∞
n=1
f (x)f n (x) implique-t-elle
la convergence uniforme de
+∞
n=1
f n (x) sur A ?
III.2.9. Soit {f n } une suite de fonctions définies sur A telle que
(1) f n (x) 0 pour tout x ∈ A et tout n ∈ N ∗ ,
(2) f n (x) f n+1 (x) pour tout x ∈ A et tout n ∈ N ∗ ,
(3) sup
x∈A
f n (x) − −−−− →
n→+∞
0.
Prouver que
+∞
n=1
(−1)
n+1 f n (x) converge uniformément sur A.
277