Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.2.2. Étudier la convergence uniforme des séries suivantes sur l’ensemble A
donné :
(a)
+∞
n=1
π
2
− Arctan
n
2
1 + x
2
, A = R,
(b)
+∞
n=1
ln(1 + nx)
nx n
, A = [2 , +∞[ ,
(c)
+∞
n=1
n
2 x
2 e
−n 2 |x| , A = R,
(d)
+∞
n=1
x
2
1 − x
2
n−1 , A = [−1 , 1],
(e)
+∞
n=1
n 2
√
n!
x
n + x
−n
, A = {x ∈ R : 1/2 |x| 2} ,
(f)
+∞
n=1
2
n sin
1
3 n x
, A = R
∗
+ ,
(g)
+∞
n=2
ln
1 +
x 2
n ln
2 n
, A = ]−a , a[ , a > 0.
III.2.3. Prouver que la série
+∞
n=1
f n (x), f n étant définie par
– f n (x) = 0 si 0 x
1
2n+1 ou si
1
2n−1 x 1,
– f n (x) =
1
n si x =
1
2n ,
– f n est continue et est affine sur chacun des intervalles
1
2n+1 ,
1
2n
et
1
2n ,
1
2n−1
,
converge uniformément sur [0 , 1] bien que le test de Weierstrass ne s’applique pas.
III.2.4. Étudier la continuité sur R + de la fonction f définie par
f (x) =
+∞
n=1
x
((n − 1)x + 1)(nx + 1)
.
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