Énoncés
III.1.33. Utiliser le résultat du problème précédent pour démontrer le théorème
d’approximation de Weierstrass. Si f : [a , b] −→ R est continue sur [a , b], pour
tout ε > 0, il existe alors un polynôme P tel que |f (x) − P (x)| < ε pour tout
x ∈ [a , b].
III.2. Séries de fonctions, convergence uniforme
III.2.1. Trouver où les séries suivantes convergent simplement.
(a)
+∞
n=1
1
1 + x n , x = −1,
(b)
+∞
n=1
x n
1 + x n , x = −1,
(c)
+∞
n=1
2 n + x n
1 + 3 n x n , x = −
1
3
,
(d)
+∞
n=1
x n−1
(1 − x n ) (1 − x n+1 )
, x = −1, 1,
(e)
+∞
n=1
x 2 n−1
1 − x 2 n , x = −1, 1,
(f)
+∞
n=2
ln n
n
x
,
(g)
+∞
n=1
x
ln n , x > 0,
(h)
+∞
n=0
sin
2
2π
n 2 + x 2
.
275
III.1.33. Utiliser le résultat du problème précédent pour démontrer le théorème
d’approximation de Weierstrass. Si f : [a , b] −→ R est continue sur [a , b], pour
tout ε > 0, il existe alors un polynôme P tel que |f (x) − P (x)| < ε pour tout
x ∈ [a , b].
III.2. Séries de fonctions, convergence uniforme
III.2.1. Trouver où les séries suivantes convergent simplement.
(a)
+∞
n=1
1
1 + x n , x = −1,
(b)
+∞
n=1
x n
1 + x n , x = −1,
(c)
+∞
n=1
2 n + x n
1 + 3 n x n , x = −
1
3
,
(d)
+∞
n=1
x n−1
(1 − x n ) (1 − x n+1 )
, x = −1, 1,
(e)
+∞
n=1
x 2 n−1
1 − x 2 n , x = −1, 1,
(f)
+∞
n=2
ln n
n
x
,
(g)
+∞
n=1
x
ln n , x > 0,
(h)
+∞
n=0
sin
2
2π
n 2 + x 2
.
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