Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.1.28. Soit {f n } une suite de fonctions continues sur un intervalle fermé [a , b]
et dérivables sur l’intervalle ouvert ]a , b[. On suppose de plus que la suite {f
n }
est uniformément bornée sur ]a , b[, autrement dit, qu’il existe M > 0 tel que
|f
n (x)| M pour tout n ∈ N et tout x ∈ ]a , b[. Prouver que si {f n } converge
simplement sur [a , b], elle converge alors uniformément sur cet intervalle.
III.1.29. Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de {f n } et
{f
n } sur A, où
(a)
f n (x) =
sin nx
√
n
,
A = R,
(b)
f n (x) =
x
1 + n 2 x 2 ,
A = [−1 , 1].
III.1.30. Soit {f n } une suite uniformément convergente sur A vers une fonction f . Soit x 0 un point d’accumulation de A tel que, à partir d’une certaine
valeur de l’indice n, la limite lim
x→x 0
f n (x) existe. Prouver que
lim
n→+∞
lim
x→x 0
f n (x) = lim
x→x 0
f (x).
Prouver aussi que si {f n } est uniformément convergente sur ]a , +∞[ vers f et
qu’à partir d’une certaine valeur de l’indice n, la limite lim
x→+∞
f n (x) existe, alors
lim
n→+∞
lim
x→+∞
f n (x) = lim
x→+∞
f (x).
Les égalités précédentes signifient que si la limite dans un membre de l’égalité
existe, la limite dans l’autre membre existe aussi et ces deux limites sont égales.
III.1.31. Soit {f n } une suite de fonctions dérivables sur [a , b] telle que {f n (x 0 )}
converge pour un x 0 ∈ [a , b]. Prouver que si la suite {f
n } converge uniformément
sur [a , b], alors {f n } converge aussi uniformément sur [a , b] vers une fonction f
dérivable sur [a , b] et
f
(x) = lim
n→+∞
f
n (x) pour x ∈ [a , b].
III.1.32. On définit pour f : [0 , 1] −→ R le polynôme de Berstein B n (f, x)
d’ordre n de la fonction f par
B n (f, x) =
n
k=0
n
k
f
k
n
x
k (1 − x)
n−k .
Prouver que si f est continue sur [0 , 1], {B n (f )} converge alors uniformément
vers f sur [0 , 1].
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