Énoncés
III.1.21. Soit {f n } une suite de fonctions définies sur un ensemble compact K.
Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La suite {f n } converge uniformément sur K vers f ∈ C K .
(ii) La suite {f n } converge continûment sur K vers f .
III.1.22. Soit {f n } une suite simplement convergente vers une fonction continue
sur [a , b] de fonctions définies sur [a , b], toutes croissantes ou toutes décroissantes.
Prouver que {f n } converge uniformément sur [a , b].
III.1.23. Soit {f n } une suite de fonctions définies sur R, toutes croissantes ou
toutes décroissantes et uniformément bornées sur R. Prouver que {f n } contient
une sous-suite simplement convergente sur R.
III.1.24. Montrer que sous les hypothèses du problème précédent, si la limite
simple f de la sous-suite simplement convergente {f n k } est continue, alors {f n }
converge vers f uniformément sur chaque sous-ensemble compact de R. La convergence doit-elle être uniforme sur R ?
III.1.25. Démontrer que la limite d’une suite de polynômes uniformément
convergente sur R est un polynôme.
III.1.26. Soit {P n } une suite de polynômes de la forme
P n (x) = a n,p x
p + a n,p−1 x
p−1 + · · · + a n,0 .
Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
(i) {P n } converge uniformément sur tout compact de R,
(ii) il existe p + 1 réels distincts c 0 , c 1 , . . . , c p tels que {P n } converge sur
{c 0 , c 1 , . . . , c p },
(iii) la suite des coefficients {a n,i } converge pour i = 0, 1, 2, . . . , p.
III.1.27. Prouver que si {f n } est simplement convergente et équicontinue sur
un ensemble compact K, alors {f n } converge uniformément sur K.
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III.1.21. Soit {f n } une suite de fonctions définies sur un ensemble compact K.
Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La suite {f n } converge uniformément sur K vers f ∈ C K .
(ii) La suite {f n } converge continûment sur K vers f .
III.1.22. Soit {f n } une suite simplement convergente vers une fonction continue
sur [a , b] de fonctions définies sur [a , b], toutes croissantes ou toutes décroissantes.
Prouver que {f n } converge uniformément sur [a , b].
III.1.23. Soit {f n } une suite de fonctions définies sur R, toutes croissantes ou
toutes décroissantes et uniformément bornées sur R. Prouver que {f n } contient
une sous-suite simplement convergente sur R.
III.1.24. Montrer que sous les hypothèses du problème précédent, si la limite
simple f de la sous-suite simplement convergente {f n k } est continue, alors {f n }
converge vers f uniformément sur chaque sous-ensemble compact de R. La convergence doit-elle être uniforme sur R ?
III.1.25. Démontrer que la limite d’une suite de polynômes uniformément
convergente sur R est un polynôme.
III.1.26. Soit {P n } une suite de polynômes de la forme
P n (x) = a n,p x
p + a n,p−1 x
p−1 + · · · + a n,0 .
Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
(i) {P n } converge uniformément sur tout compact de R,
(ii) il existe p + 1 réels distincts c 0 , c 1 , . . . , c p tels que {P n } converge sur
{c 0 , c 1 , . . . , c p },
(iii) la suite des coefficients {a n,i } converge pour i = 0, 1, 2, . . . , p.
III.1.27. Prouver que si {f n } est simplement convergente et équicontinue sur
un ensemble compact K, alors {f n } converge uniformément sur K.
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