Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.1.14. Soit f : R −→ R une fonction dérivable telle que f soit uniformément
continue sur R. Vérifier que
n
f
x +
1
n
− f (x)
tend vers f
(x)
uniformément sur R. Montrer sur un exemple que l’hypothèse d’uniforme de continuité de f est essentielle.
III.1.15. Soit {f n } une suite uniformément convergente sur R de fonctions uniformément continues. Prouver que la limite est aussi uniformément continue.
III.1.16. Prouver le théorème suivant de Dini . Soit {f n } une suite de fonctions
continues sur un ensemble compact K qui converge simplement vers une fonction
f aussi continue sur K. Si f n+1 (x) f n (x) pour tout x ∈ K et n ∈ N, alors la
suite {f n } converge uniformément vers f sur K.
Montrer sur des exemples que chaque hypothèse du théorème de Dini (compacité de K, continuité de la limite, continuité des f n , monotonie de la suite {f n })
est essentielle.
III.1.17. Une suite de fonctions {f n }, définies sur un ensemble A, est équicontinue sur A si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que |f n (x) − f n (x )| < ε dès que
|x − x | < δ, x, x ∈ A, n ∈ N. Prouver que si {f n } est une suite uniformément
convergente de fonctions continues sur un ensemble compact K, alors {f n } est
équicontinue sur K.
III.1.18. Une suite de fonctions {f n }, définies sur un ensemble A, converge
continûment sur A si la suite {f n (x n )} converge vers f (x) pour tout x ∈ A et
pour toute suite {x n } d’éléments de A convergente vers x. Prouver que si la suite
{f n } converge continûment sur A, on a alors
lim
k→+∞
f n k (x k ) = f (x)
pour toute suite {x n } d’éléments de A convergente vers x ∈ A et pour toute
sous-suite {f n k }.
III.1.19. Prouver que si {f n } converge continûment sur A vers f , alors f est
continue sur A (même si les fonctions f n ne sont pas elles-mêmes continues).
III.1.20. Prouver que si {f n } converge uniformément sur A vers une fonction
f continue, alors {f n } converge continûment sur A. La réciproque est-elle vraie ?
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III.1.14. Soit f : R −→ R une fonction dérivable telle que f soit uniformément
continue sur R. Vérifier que
n
f
x +
1
n
− f (x)
tend vers f
(x)
uniformément sur R. Montrer sur un exemple que l’hypothèse d’uniforme de continuité de f est essentielle.
III.1.15. Soit {f n } une suite uniformément convergente sur R de fonctions uniformément continues. Prouver que la limite est aussi uniformément continue.
III.1.16. Prouver le théorème suivant de Dini . Soit {f n } une suite de fonctions
continues sur un ensemble compact K qui converge simplement vers une fonction
f aussi continue sur K. Si f n+1 (x) f n (x) pour tout x ∈ K et n ∈ N, alors la
suite {f n } converge uniformément vers f sur K.
Montrer sur des exemples que chaque hypothèse du théorème de Dini (compacité de K, continuité de la limite, continuité des f n , monotonie de la suite {f n })
est essentielle.
III.1.17. Une suite de fonctions {f n }, définies sur un ensemble A, est équicontinue sur A si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que |f n (x) − f n (x )| < ε dès que
|x − x | < δ, x, x ∈ A, n ∈ N. Prouver que si {f n } est une suite uniformément
convergente de fonctions continues sur un ensemble compact K, alors {f n } est
équicontinue sur K.
III.1.18. Une suite de fonctions {f n }, définies sur un ensemble A, converge
continûment sur A si la suite {f n (x n )} converge vers f (x) pour tout x ∈ A et
pour toute suite {x n } d’éléments de A convergente vers x. Prouver que si la suite
{f n } converge continûment sur A, on a alors
lim
k→+∞
f n k (x k ) = f (x)
pour toute suite {x n } d’éléments de A convergente vers x ∈ A et pour toute
sous-suite {f n k }.
III.1.19. Prouver que si {f n } converge continûment sur A vers f , alors f est
continue sur A (même si les fonctions f n ne sont pas elles-mêmes continues).
III.1.20. Prouver que si {f n } converge uniformément sur A vers une fonction
f continue, alors {f n } converge continûment sur A. La réciproque est-elle vraie ?
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