Énoncés
III.1.9. Étudier la convergence uniforme de {f n } sur A et sur B lorsque
(a) f n (x) = cos n x (1 − cos n x), A = [0 , π/2], B = [π/4 , π/2],
(b) f n (x) = cos n x sin
2n x, A = R, B = [0 , π/4].
III.1.10. Déterminer si la suite {f n } converge uniformément sur A lorsque
(a)
f n (x) = Arctan
2x
x 2 + n 3 , A = R,
(b)
f n (x) = n ln
1 +
x 2
n
, A = R,
(c)
f n (x) = n ln
1 + nx
nx
, A = R
∗
+ ,
(d)
f n (x) =
2n
1 + x 2n , A = R,
(e)
f n (x) =
n
2 n + |x|
n , A = R,
(f)
f n (x) =
√
n + 1 sin
n x cos x, A = R,
(g)
f n (x) = n
n
√
x − 1
, A = [1 , a], a > 1.
III.1.11. Soit f une fonction définie sur [a , b]. On pose f n (x) =
[nf (x)]
n
pour
x ∈ [a , b] et n ∈ N ∗ . Prouver que f n ⇒
[a,b]
f .
III.1.12. Vérifier que la suite {f n },
f n (x) = n sin
4π 2 n 2 + x 2 ,
converge uniformément sur [0 , a], a > 0. Converge-t-elle uniformément sur R ?
III.1.13. Prouver que la suite de polynômes {P n } définie par la relation de
récurrence
P 0 (x) = 0, P n+1 (x) = P n (x) +
1
2
x − P
2
n (x)
, n ∈ N,
converge uniformément sur l’intervalle [0 , 1] vers f (x) =
√
x.
En déduire qu’il existe une suite de polynômes uniformément convergente sur
l’intervalle [−1 , 1] vers la fonction x → |x|.
271