Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.1.3. Soit {f n } et {g n } deux suites telles que f n ⇒
A
f , g n ⇒
A
g et telles qu’il
existe M > 0 vérifiant |f (x)| < M et |g(x)| < M pour tout x ∈ A. Prouver que
f n × g n ⇒
A
f × g.
III.1.4. Soit {a n } une suite réelle convergente et {f n } une suite de fonctions
vérifiant
sup {|f n (x) − f m (x)| : x ∈ A} |a n − a m | , m,n ∈ N
∗ .
Prouver que {f n } converge uniformément sur A.
III.1.5. Montrer que la limite d’une suite de fonctions bornées et uniformément
convergente sur A est bornée sur A. Cette proposition est-elle vraie dans le cas
de la convergence simple ?
III.1.6. Montrer que la suite de fonctions {f n } définie par
f n (x) =
x
n
si n est pair,
1
n
si n est impair
est simplement convergente mais n’est pas uniformément convergente sur R. Trouver une sous-suite uniformément convergente.
III.1.7. Prouver le critère suivant de convergence uniforme de Cauchy . La suite
de fonctions {f n }, définies sur A, converge uniformément sur A si et seulement si,
pour tout ε > 0, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que m > n 0 implique |f m+n (x) − f m (x)| < ε
pour tout n ∈ N et tout x ∈ A.
III.1.8. Étudier la convergence uniforme sur [0 , 1] de la suite de fonctions définie
par
(a) f n (x) =
1
1 + (nx − 1)
2 ,
(b) f n (x) =
x 2
x 2 + (nx − 1)
2 ,
(c) f n (x) = x
n (1 − x),
(d) f n (x) = nx
n (1 − x),
(e) f n (x) = n
3 x
n (1 − x)
4 ,
(f) f n (x) =
nx 2
1 + nx
,
(g) f n (x) =
1
1 + x n .
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