III
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Énoncés
III.1. Suites de fonctions, convergence uniforme
On adopte la définition suivante :
Définition. Une suite de fonctions {f n } converge uniformément sur A vers une
fonction f si, pour tout ε > 0, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que n n 0 implique
|f n (x) − f (x)| < ε pour tout x ∈ A. On notera ceci f n ⇒
A
f .
III.1.1. Prouver qu’une suite de fonctions {f n } définies sur A est uniformément
convergente sur B ⊂ A vers f : B −→ R si et seulement si la suite réelle {d n },
d n = sup {|f n (x) − f (x)| : x ∈ B} , n ∈ N
∗ ,
converge vers 0.
III.1.2. Soit {f n } et {g n } deux suites telles que f n ⇒
A
f et g n ⇒
A
g. Prouver que
f n + g n ⇒
A
f + g. A-t-on f n × g n ⇒
A
f × g ?
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Énoncés
III.1. Suites de fonctions, convergence uniforme
On adopte la définition suivante :
Définition. Une suite de fonctions {f n } converge uniformément sur A vers une
fonction f si, pour tout ε > 0, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que n n 0 implique
|f n (x) − f (x)| < ε pour tout x ∈ A. On notera ceci f n ⇒
A
f .
III.1.1. Prouver qu’une suite de fonctions {f n } définies sur A est uniformément
convergente sur B ⊂ A vers f : B −→ R si et seulement si la suite réelle {d n },
d n = sup {|f n (x) − f (x)| : x ∈ B} , n ∈ N
∗ ,
converge vers 0.
III.1.2. Soit {f n } et {g n } deux suites telles que f n ⇒
A
f et g n ⇒
A
g. Prouver que
f n + g n ⇒
A
f + g. A-t-on f n × g n ⇒
A
f × g ?