Chapitre III. Suites et séries de fonctions
On pose u n =
2n √
1 + x 2n . On a alors, pour x > 1,
2n
1 + x 2n − x = u n − x
=
u 2n
n − x 2n
u
2n−1
n
+ u
2n−2
n
x + · · · + x 2n−1
=
1
u
2n−1
n
+ u
2n−2
n
x + · · · + x 2n−1
1
2n
.
Il s’ensuit que
d n sup
x∈[0,1]
|f n (x) − f (x)| + sup
x∈[1,+∞[
|f n (x) − f (x)|
2n √
2 − 1 +
1
2n
,
ce qui montre que {f n } converge uniformément sur R.
(e) Comme en (d), on peut montrer que la suite converge uniformément sur
R vers
f (x) =
2
si |x| 2,
|x| si |x| > 2.
(f) On a
d n = sup
x∈R
√
n + 1 sin
n x cos x
=
n
n + 1
n
− −−−− →
n→+∞
1
√
e
.
La convergence n’est donc pas uniforme sur R.
(g) La suite converge simplement vers ln x (voir, par exemple, II.5.4
(vol. I)). D’après la formule de Taylor, on a
d n = sup
x∈[1,a]
n
n
√
x − 1
− ln x
= sup
x∈[1,a]
n
e
1
n
ln x
− 1
− ln x
= sup
x∈[1,a]
n
1 +
1
n
ln x −
ln
2 x
2n 2 e
ζn
− 1
− ln x
ln
2 a
2n
a
1
n
car 0 < ζ n <
ln a
n . Donc, lim
n→+∞
d n = 0, ce qui prouve que f n ⇒
[1,a]
f où
f (x) = ln x.
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