Chapitre II. Dérivation
Soit K un sous-intervalle ouvert de l’intervalle ]a , b[ tel que
Ü
K = 2K − b = {y : y = 2x − b, x ∈ K} ⊂ J.
Puisque l’ensemble
S n =
x : f (x − h) f (x + h) pour 0 < h <
1
n
est de seconde catégorie dans K et S est résiduel dans Ü
K, on voit que l’ensemble
(2S n − b) ∩
S ∩ Ü
K
est de seconde catégorie, donc non vide. On peut choisir
e
x ∈ S∩ Ü
K tel que e x+b
2 ∈ S n . En prenant h =
b−e x
2 (clairement, 0 < h < 1/n), on
voit que f (e x) f (b). De plus, (∗) implique f (c) − ε < f(e x) et, ε > 0 pouvant
être choisi arbitrairement petit, on conclut que f (c) f (b). On peut montrer
de la même manière que f (a) f (c). On a donc prouvé que f est croissante
sur I, d’où D ∗ f (x) 0 pour x ∈ I. On a alors A(f, 0) ∩ I = ∅, contradiction.
II.6.16. Le résultat se déduit immédiatement du problème précédent. Notez
qu’il s’agit d’une généralisation de II.6.6.
II.6.17. [J. Swetits, Amer. Math. Monthly 75 (1968), 1093-1095]. On peut supposer que f est localement bornée sur [x 1 , x 0 [ et x 0 − x 1 < δ < 1. On note x 2
le milieu de [x 1 , x 0 [. Il existe M > 0 tel que |f (x)| M pour x ∈ [x 1 , x 2 ]. On
choisit h, 0 < h <
δ
2 , tel que
|f (x 2 + h)| > 1 + M + |f
s (x 2 )| .
On a alors
f (x 2 + h) − f (x 2 − h)
2h
− f
s (x 2 )
f (x 2 + h) − f (x 2 − h)
2h
− |f
s (x 2 )|
|f (x 2 + h)| − |f (x 2 − h)| − |f
s (x 2 )|
|f (x 2 + h)| − M − |f
s (x 2 )| > 1.
La fonction f n’est donc pas uniformément Schwarz-dérivable sur [a , b].
II.6.18. On peut utiliser le résultat de II.6.9 et procéder comme dans la
solution de II.2.26.
II.6.19. On considère la fonction définie comme suit :
f (x) =
0 si x ∈ R ∗ ,
1 si x = 0.
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