Solutions
La dérivée de Schwarz f s est identiquement nulle sur R mais f n’est uniformément Schwarz-dérivable sur aucun intervalle contenant 0.
II.6.20. [J. Swetits, Amer. Math. Monthly 75 (1968), 1093-1095]. On suppose
d’abord que la fonction f est uniformément Schwarz-dérivable sur tout intervalle [a , b] ⊂ I. Soit x 0 ∈ ]a , b[ et δ 1 > 0 tel que [x 0 − δ 1 , x 0 + δ 1 ] ⊂ ]a , b[. On
pose I 1 = ]x 0 − δ 1 , x 0 + δ 1 [. Puisque f est localement bornée sur I, il existe
M > 0, tel que
|f (x)| M pour x ∈ I 1 .
Soit δ > 0 tel que
f (x + h) − f (x − h)
2h
− f
s (x)
< 1
pour |h| < δ et x ∈ [a , b]. On a alors
|f
s (x)| < 1 +
f (x + h 1 ) − f (x − h 1 )
2h 1
< 1 +
2M
2 |h 1 |
pour x ∈ I 2 =
x 0 −
δ 1
2 , x 0 +
δ 1
2
et |h 1 | < min {δ, δ 1 /2}. La dérivée de Schwarz
f s est donc localement bornée sur I. On prouve maintenant que f est continue
sur I. Supposons, au contraire, que f est discontinue en x 0 ∈ [a , b] ⊂ I. Il
existe alors ε > 0 tel que pour tout δ > 0, il existe x ∈ [a , b] ∩ ]x 0 − δ , x 0 + δ[
pour lequel |f (x ) − f (x 0 )| > ε. Puisque f s est localement bornée, il existe
M 1 > 0 tel que |f s (x)| M 1 pour x dans l’intervalle d’extrémités x et x 0 . En
conséquence,
f (x ) − f (x 0 )
x − x 0
− f
s
x + x 0
2
ε
|x − x 0 |
− M 1 ,
ce qui contredit l’uniforme Schwarz-dérivabilité de f sur [a , b]. On a donc
prouvé que f est continue sur I et, d’après le résultat de II.6.18, il en est de
même pour f s . Ceci, combiné avec II.6.11, montre que f existe et est continue sur I. Le fait que la condition soit suffisante se déduit immédiatement du
résultat de II.6.18.
267
La dérivée de Schwarz f s est identiquement nulle sur R mais f n’est uniformément Schwarz-dérivable sur aucun intervalle contenant 0.
II.6.20. [J. Swetits, Amer. Math. Monthly 75 (1968), 1093-1095]. On suppose
d’abord que la fonction f est uniformément Schwarz-dérivable sur tout intervalle [a , b] ⊂ I. Soit x 0 ∈ ]a , b[ et δ 1 > 0 tel que [x 0 − δ 1 , x 0 + δ 1 ] ⊂ ]a , b[. On
pose I 1 = ]x 0 − δ 1 , x 0 + δ 1 [. Puisque f est localement bornée sur I, il existe
M > 0, tel que
|f (x)| M pour x ∈ I 1 .
Soit δ > 0 tel que
f (x + h) − f (x − h)
2h
− f
s (x)
< 1
pour |h| < δ et x ∈ [a , b]. On a alors
|f
s (x)| < 1 +
f (x + h 1 ) − f (x − h 1 )
2h 1
< 1 +
2M
2 |h 1 |
pour x ∈ I 2 =
x 0 −
δ 1
2 , x 0 +
δ 1
2
et |h 1 | < min {δ, δ 1 /2}. La dérivée de Schwarz
f s est donc localement bornée sur I. On prouve maintenant que f est continue
sur I. Supposons, au contraire, que f est discontinue en x 0 ∈ [a , b] ⊂ I. Il
existe alors ε > 0 tel que pour tout δ > 0, il existe x ∈ [a , b] ∩ ]x 0 − δ , x 0 + δ[
pour lequel |f (x ) − f (x 0 )| > ε. Puisque f s est localement bornée, il existe
M 1 > 0 tel que |f s (x)| M 1 pour x dans l’intervalle d’extrémités x et x 0 . En
conséquence,
f (x ) − f (x 0 )
x − x 0
− f
s
x + x 0
2
ε
|x − x 0 |
− M 1 ,
ce qui contredit l’uniforme Schwarz-dérivabilité de f sur [a , b]. On a donc
prouvé que f est continue sur I et, d’après le résultat de II.6.18, il en est de
même pour f s . Ceci, combiné avec II.6.11, montre que f existe et est continue sur I. Le fait que la condition soit suffisante se déduit immédiatement du
résultat de II.6.18.
267