Solutions
II.6.15. [C.L. Belna, M.J. Evans, P.D. Humke, Amer. Math. Monthly 86 (1979),
121-123]. Il suffit de prouver qu’il existe un ensemble résiduel sur lequel la première égalité est vérifiée, la seconde pouvant s’obtenir en remplaçant f par
−f dans la première. Par définition, D s f (x) D ∗ f (x). Notre but est donc de
montrer que l’ensemble
A(f ) = {x : D s f (x) > D ∗ f (x)}
est un ensemble de première catégorie. On observe que A(f ) est l’union dénombrable des ensembles
A(f, α) = {x : D s f (x) > α > D ∗ f (x)} , α ∈ Q.
Il suffit donc de montrer que chacun de ces ensembles est de première catégorie. Puisque A(f, α) = A(g, 0), où g(x) = f (x) − αx, il suffit de montrer que
A(f, 0) est de première catégorie. On note pour ceci que
A(f, 0) =
+∞
n=1
A n (f, 0)
=
+∞
n=1
x : f (x − h) f (x + h) pour 0 < h <
1
n
∩ A(f, 0)
.
Il suffit donc de prouver que tous les ensembles A n (f, 0) sont de première catégorie. On suppose, au contraire, qu’il existe n ∈ N ∗ tel que A n (f, 0) soit
de seconde catégorie. Il existe alors un intervalle ouvert I tel que A n (f, 0) est
aussi de seconde catégorie dans tout sous-intervalle ouvert de I. On suppose de
plus que la longueur de I est inférieure à
1
n et que a, b ∈ I, a < b. Soit S ⊂ R
un ensemble résiduel tel que f |S soit continue, c ∈ S ∩ ]a , b[ et ε > 0. Il existe
un sous-intervalle ouvert J de l’intervalle ]a , b[ tel que c ∈ J et
f (x) > f(c) − ε pour x ∈ S ∩ J.
(∗)
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