Chapitre II. Dérivation
On peut noter que, de la même manière, si f (a) > f(b), il existe c ∈ ]a , b[ tel
que f s (c) 0.
II.6.8. [C.E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 708-711]. La proposition est
évidente si f est identiquement nulle sur [a , b]. On suppose donc qu’il existe
c ∈ ]a , b[ tel que, par exemple, f (c) > 0. Le résultat précédent implique qu’il
existe x 1 et x 2 tels que a < x 1 < c < x 2 < b, f s (x 1 ) 0 et f s (x 2 ) 0.
II.6.9. [C.E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 708-711]. On voit facilement
que la fonction auxiliaire
F (x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
b − a
(x − a)
vérifie les hypothèses du problème précédent.
II.6.10. [C.E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 708-711]. Puisque f s est
bornée sur ]a , b[, il existe M 0 tel que |f s (x)| M pour tout x ∈ ]a , b[. Le
résultat du problème précédent donne alors
−M
f (x) − f (t)
x − t
M si x, t ∈ ]a , b[ , x = t.
En conséquence, |f (x) − f (t)| M |x − t|.
II.6.11. [C.E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 708-711]. D’après II.6.9, il
existe x 1 et x 2 entre x et x + h (x, x + h ∈ ]a , b[) tels que
f
s (x 2 )
f (x + h) − f (x)
h
f
s (x 1 ).
D’autre part, par continuité de f s , il existe x 3 entre x et x + h tel que
f s (x 3 ) =
f (x+h)−f (x)
h
. En faisant tendre h vers 0, on obtient f s (x) = f (x).
II.6.12. Si x et z (x < z) se trouvent dans I, d’après II.6.9, il existe alors
x 2 ∈ ]x , z[ tel que
f (z) − f (x)
z − x
f
s (x 2 ) 0.
II.6.13. Comme précédemment, il suffit d’appliquer le résultat de II.6.9.
II.6.14. Non. Considérez, par exemple, la fonction f définie sur x ∈ ]−1 , 1[
par f (x) = x−2 |x|. On vérifie facilement que f s (0) = 1 et f (0) est le maximum
de f sur ]−1 , 1[.
264
On peut noter que, de la même manière, si f (a) > f(b), il existe c ∈ ]a , b[ tel
que f s (c) 0.
II.6.8. [C.E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 708-711]. La proposition est
évidente si f est identiquement nulle sur [a , b]. On suppose donc qu’il existe
c ∈ ]a , b[ tel que, par exemple, f (c) > 0. Le résultat précédent implique qu’il
existe x 1 et x 2 tels que a < x 1 < c < x 2 < b, f s (x 1 ) 0 et f s (x 2 ) 0.
II.6.9. [C.E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 708-711]. On voit facilement
que la fonction auxiliaire
F (x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
b − a
(x − a)
vérifie les hypothèses du problème précédent.
II.6.10. [C.E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 708-711]. Puisque f s est
bornée sur ]a , b[, il existe M 0 tel que |f s (x)| M pour tout x ∈ ]a , b[. Le
résultat du problème précédent donne alors
−M
f (x) − f (t)
x − t
M si x, t ∈ ]a , b[ , x = t.
En conséquence, |f (x) − f (t)| M |x − t|.
II.6.11. [C.E. Aull, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 708-711]. D’après II.6.9, il
existe x 1 et x 2 entre x et x + h (x, x + h ∈ ]a , b[) tels que
f
s (x 2 )
f (x + h) − f (x)
h
f
s (x 1 ).
D’autre part, par continuité de f s , il existe x 3 entre x et x + h tel que
f s (x 3 ) =
f (x+h)−f (x)
h
. En faisant tendre h vers 0, on obtient f s (x) = f (x).
II.6.12. Si x et z (x < z) se trouvent dans I, d’après II.6.9, il existe alors
x 2 ∈ ]x , z[ tel que
f (z) − f (x)
z − x
f
s (x 2 ) 0.
II.6.13. Comme précédemment, il suffit d’appliquer le résultat de II.6.9.
II.6.14. Non. Considérez, par exemple, la fonction f définie sur x ∈ ]−1 , 1[
par f (x) = x−2 |x|. On vérifie facilement que f s (0) = 1 et f (0) est le maximum
de f sur ]−1 , 1[.
264