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II.6.4. [M. Esser, O. Shisha, Amer. Math. Monthly 71 (1964), 904-906]. Non. On
considère la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 , 1[ par
f (x) =
x
0
g(t) dt,
où
g(t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0 si t ∈ ]−1 , 0] ∪
+∞
k=1
1
2k+1 ,
1
2k
,
t si t ∈
+∞
k=1
1
2k ,
1
2k−1
.
La fonction f est continue sur ]−1 , 1[ et
lim
(x 1 ,x 2 )→(0,0)
x 1 =x 2
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
=
lim
(x 1 ,x 2 )→(0,0)
x 1 =x 2
1
x 2 − x 1
x 1
x 2
g(t) dt = 0.
Cette égalité se déduit du fait que
0
x 1
x 2
g(t) dt
x 2
1 − x 2
2
2
pour x 2 < x 1 .
La fonction f est donc fortement dérivable en 0, mais f n’est pas définie en
1
n , n = 3, 4, 5, . . .
II.6.5. Le résultat se déduit immédiatement de II.6.2 et II.6.3.
II.6.6. [C.L. Belna, M.J. Evans, P.D. Humke, Amer. Math. Monthly 86 (1979),
121-123]. On note d’abord que f appartient à la première classe de Baire car
f
(x) = lim
n→+∞
f
x +
1
n
− f (x)
1
n
.
L’ensemble des points de discontinuité de f est donc un ensemble de première
catégorie (voir I.7.20). La proposition se déduit alors du résultat de II.6.3.
II.6.7. Soit α ∈ R tel que f (a) < α < f(b), on pose
c = inf {x ∈ ]a , b[ : f (x) > α} .
Clairement, c = a et c = b. Par définition de la borne inférieure, f (x) α
pour x ∈ [a , c] et il existe une suite strictement positive {h n } convergente vers
0 telle que f (c + h n ) > α. La fonction f étant Schwarz-dérivable en c, on a
f
s (c) = lim
n→+∞
f (c + h n ) − f (c − h n )
2h n
0.
263
II.6.4. [M. Esser, O. Shisha, Amer. Math. Monthly 71 (1964), 904-906]. Non. On
considère la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 , 1[ par
f (x) =
x
0
g(t) dt,
où
g(t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0 si t ∈ ]−1 , 0] ∪
+∞
k=1
1
2k+1 ,
1
2k
,
t si t ∈
+∞
k=1
1
2k ,
1
2k−1
.
La fonction f est continue sur ]−1 , 1[ et
lim
(x 1 ,x 2 )→(0,0)
x 1 =x 2
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
=
lim
(x 1 ,x 2 )→(0,0)
x 1 =x 2
1
x 2 − x 1
x 1
x 2
g(t) dt = 0.
Cette égalité se déduit du fait que
0
x 1
x 2
g(t) dt
x 2
1 − x 2
2
2
pour x 2 < x 1 .
La fonction f est donc fortement dérivable en 0, mais f n’est pas définie en
1
n , n = 3, 4, 5, . . .
II.6.5. Le résultat se déduit immédiatement de II.6.2 et II.6.3.
II.6.6. [C.L. Belna, M.J. Evans, P.D. Humke, Amer. Math. Monthly 86 (1979),
121-123]. On note d’abord que f appartient à la première classe de Baire car
f
(x) = lim
n→+∞
f
x +
1
n
− f (x)
1
n
.
L’ensemble des points de discontinuité de f est donc un ensemble de première
catégorie (voir I.7.20). La proposition se déduit alors du résultat de II.6.3.
II.6.7. Soit α ∈ R tel que f (a) < α < f(b), on pose
c = inf {x ∈ ]a , b[ : f (x) > α} .
Clairement, c = a et c = b. Par définition de la borne inférieure, f (x) α
pour x ∈ [a , c] et il existe une suite strictement positive {h n } convergente vers
0 telle que f (c + h n ) > α. La fonction f étant Schwarz-dérivable en c, on a
f
s (c) = lim
n→+∞
f (c + h n ) − f (c − h n )
2h n
0.
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