Chapitre II. Dérivation
II.5.57. On pose
f (x) =
0
si x ∈ [0 , 1/2],
x −
1
2
2 si x ∈ ]1/2 , 1].
On a alors f (x) = 0 pour x ∈ [0 , 1/2] et f (3) (x) = 0 pour x ∈ ]1/2 , 1].
L’exemple suivant montre que la conclusion de II.5.56 est fausse si on a
seulement lim
n→+∞
f (n) (x) = 0 pour tout x ∈ [0 , 1] :
f (x) = sin
x
2
, x ∈ [0 , 1].
II.6. Dérivabilité forte et dérivabilité au sens
de Schwarz
II.6.1. Il suffit de prendre x 2 = a dans la définition 5. La réciproque est
fausse (voir, par exemple, II.1.13).
II.6.2. [M. Esser, O. Shisha, Amer. Math. Monthly 71 (1964), 904-906]. Soit ε > 0
et δ > 0 tels que
B = {x : |x − a| < δ} ⊂ A
et
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
− f
∗ (a)
< ε
si x 1 , x 2 ∈ B et x 1 = x 2 . Si maintenant x ∈ A 1 (autrement dit, si f (x) existe)
et si |x − a| <
δ
2 , on a alors
f (x 2 ) − f (x)
x 2 − x
− f
∗ (a)
< ε
pour tout x 2 tel que |x 2 − a| <
δ
2 . En faisant tendre x 2 vers x, on obtient
|f (x) − f ∗ (a)| ε, d’où lim
x→a
x∈A 1
f (x) = f ∗ (a) = f (a). Puisque A ∗ ⊂ A 1 , il
s’ensuit que
lim
x→a
x∈A ∗
f
∗ (x) = f
∗ (a) = f
(a).
II.6.3. [M. Esser, O. Shisha, Amer. Math. Monthly 71 (1964), 904-906]. La fonction f étant continue en a, le théorème des accroissements finis donne
lim
(x 1 ,x 2 )→(a,a)
x 1 =x 2
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
=
lim
(x 1 ,x 2 )→(a,a)
x 1 =x 2
f
(x 1 + θ(x 2 − x 1 )) = f
(a).
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