Solutions
On suppose, par exemple, que f (x) > 0 et f (x) < 0 pour x ∈ [a , b]. On pose
donc x 0 = a. D’après la formule de Taylor avec reste de Lagrange, on a
0 = f (ξ) = f (x n ) + f
(x n )(ξ − x n ) +
1
2
f
(c n ) (ξ − x n )
2 ,
où c n est un élément de l’intervalle ouvert d’extrémités ξ et x n . Par définition
de la suite {x n },
ξ − x n+1 = −
f (c n )
2f (x n )
(ξ − x n )
2 > 0.
La suite {x n } est donc majorée par ξ et f (x n ) < 0. D’où
ξ − x n+1 = ξ − x n +
f (x n )
f (x n )
< ξ − x n ,
ce qui signifie que la suite {x n } est strictement croissante, donc convergente
et lim
n→+∞
x n = ξ. Les autres cas se traitent de la même façon.
II.5.54. Clairement m et M sont strictement positifs. La solution du problème précédent implique
0 = f (ξ) = f (x n ) + f
(x n )(ξ − x n ) +
1
2
f
(c n ) (ξ − x n )
2 ,
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