Chapitre II. Dérivation
où ξ est l’unique racine de l’équation f (x) = 0 dans [a , b] et c n est un élément
de l’intervalle ouvert d’extrémités ξ et x n . Donc,
|x n+1 − ξ| =
x n − ξ −
f (x n )
f (x n )
=
|f (c n )|
2 |f (x n )|
(ξ − x n )
2
M
2m
(x n − ξ)
2 .
II.5.55. On montre que sup
2 −x + 2
−
1
x : x > 0
= 1. Pour cela, on pose
f (x) = 2 −x + 2
−
1
x pour x > 0. Clairement f (1) = 1 et f (x) = f
1
x
. Il suffit
donc de montrer que f (x) < 1 si x > 1 ou, dit autrement,
1
2
1
x
< 1 −
1
2 x pour x > 1.
(1)
D’après II.3.7(a), on a
1 −
1
2 x
x
> 1 −
x
2 x .
On montre maintenant que
1 −
x
2 x
1
2
pour x 2.
(2)
On écrit pour cela (2) sous la forme g(x) = 2 x−1 − x 0 et on remarque que
g est strictement croissante sur [2 , +∞[ et g(2) = 0. L’inégalité (1) est donc
prouvée pour x 2 et f (x) < 1 pour x 2. Notre but est maintenant de
montrer que f (x) < 1 pour x ∈ ]1 , 2[. On définit pour ce faire la fonction h en
posant
h(x) = ln f (x) = ln
2
x + 2
1
x
−
x +
1
x
ln 2.
Puisque
h
(x) = ln 2
−2
1
x +
1
x 2 2 x
2 x + 2
1
x
,
il s’ensuit que h (x) < 0 si et seulement si
x 2 − 1
ln 2 < 2x ln x. On considère,
pour prouver cette dernière inégalité, la fonction
k(x) =
x
2
− 1
ln 2 − 2x ln x, x ∈ ]1 , 2[ .
On a k (x) = 2x ln 2 − 2 ln x − 2 et k (x) = 2(ln 2 − 1/x). Donc, k (x) < 0
si x ∈ ]1 , 1/ ln 2[ et k (x) > 0 si x ∈ ]1/ ln 2 , 2[. Puisque k (1) = k (2) < 0,
on obtient k (x) < 0 pour tout x ∈ ]1 , 2[, ce qui signifie que k est décroissante sur cet intervalle et k(x) < k(1) = 0. Donc, h (x) < 0 si x ∈ ]1 , 2[ et
h(x) < h(1) = 0, ce qui donne f (x) < 1 pour x ∈ ]1 , 2[. On conclut donc que
l’inégalité (1) est vérifiée pour tout x ∈ ]1 , +∞[.
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