Chapitre II. Dérivation
II.5.52. On part de la formule bien connue du binôme
(x + y)
n =
n
k=0
n
k
x
k y
n−k .
(1)
On dérive (1) par rapport à x puis on multiplie l’égalité obtenue par x pour
obtenir
nx (x + y)
n−1 =
n
k=0
k
n
k
x
k y
n−k .
(2)
On dérive deux fois (1) par rapport à x puis on multiplie l’égalité obtenue par
x 2 pour obtenir
n(n − 1)x
2 (x + y)
n−2 =
n
k=0
k(k − 1)
n
k
x
k y
n−k .
(3)
Si on remplace dans (1), (2) et (3) y par 1 − x, on obtient
1 =
n
k=0
n
k
x
k (1 − x)
n−k ,
nx =
n
k=0
k
n
k
x
k (1 − x)
n−k
et
n(n − 1)x
2 =
n
k=0
k(k − 1)
n
k
x
k (1 − x)
n−k .
Il s’ensuit que
n
k=0
(k − nx)
2
n
k
x
k (1 − x)
n−k = nx(1 − x)
n
4
.
II.5.53. Par hypothèse, l’équation f (x) = 0 admet une unique racine, notée ξ, dans [a , b].
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