Solutions
(b) On pose f (x) = tan(sin x) − x pour x ∈
0 ,
π
3
. On a alors
f (0) = 0 et f
(x) =
cos x
cos 2 (sin x)
− 1.
Donc, f (x) 0 si et seulement si
cos x cos
2 (sin x) =
1 + cos(2 sin x)
2
.
Pour prouver cette dernière inégalité, on remarque que,
d’après II.5.1(c),
1 + cos(2 sin x) 2 − 2 sin
2 x +
2
3
sin
4 x 2 cos x,
des arguments classiques pouvant être utilisés pour montrer que cette
dernière inégalité est bien vérifiée pour x ∈
0 ,
π
3
.
II.5.45. On pose f (x) =
1
sin 2 x
−
1
x 2 . On a alors, pour tout x ∈ ]0 , π/2[,
f (x) > 0 si et seulement si
1
x 3 >
cos x
sin
3 x
ou, dit autrement, si et seulement si
sin x
3
√
cos x
− x > 0.
Si maintenant on pose
g(x) =
sin x
3
√ cos x
− x,
on a alors
g
(x) = (cos x)
2
3 +
1
3
(cos x)
−
4
3 sin
2 x − 1
et
g
(x) =
4
9
(cos x)
−
7
3 sin
3 x.
On voit donc, puisque g (x) > 0 pour x ∈ ]0 , π/2[, que g (x) > g (0) = 0 et
g(x) > g(0) = 0 sur cet intervalle. Ceci implique alors que f est croissante sur
]0 , π/2[ et f (x) f
π
2
= 1 −
4
π 2 .
II.5.46. Il suffit de remarquer que
Arctan x −
3x
1 + 2
√
1 + x 2
=
√
1 + x 2 − 1
2
(1 + x 2 )
1 + 2
√
1 + x 2
2 > 0.
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