Chapitre II. Dérivation
II.5.43. Pour λ 0, on définit
f (λ) =
x n + y n + λ ((x + y)
n
− x n − y n )
2 + λ (2 n − 2)
.
On peut montrer, en utilisant l’inégalité
(x + y)
n
2
n−1 (x
n + y
n ) ,
que f (λ) 0. La fonction f est donc décroissante sur [1 , +∞[ et, puisque
f (1) = (x + y)
n /2 n , la seconde inégalité suit. Pour prouver la première inégalité, il suffit de montrer que lim
λ→+∞
f (λ)
√ xy
n . L’inégalité entre les
moyennes arithmétique et géométrique donne
lim
λ→+∞
f (λ) =
(x + y)
n
− x n − y n
2 n − 2
=
n
1
xy n−1 +
n
2
x 2 y n−2 + . . . +
n
n−1
x n−1 y
2 n − 2
2 n −2
(xy n−1 ) (
n
1 ) (x 2 y n−2 ) (
n
2 ) · · · (x n−1 y) (
n
1−1 ) = (
√
xy)
n ,
la dernière égalité se déduisant de l’identité
n
1
+ 2
n
2
+ . . . + (n − 1)
n
n − 1
= n
2
n−1
− 1
qui peut se prouver en utilisant le fait que
k
n
k
= n
n − 1
k − 1
pour k 1.
II.5.44.
(a) On pose f (x) = sin(tan x) − x pour x ∈
0 ,
π
4
. On a alors
f (0) = 0 et f
(x) = cos(tan x)
1
cos 2 x
− 1
et
f
(x) 0 si et seulement si cos(tan x) cos
2 x.
On remarque que cos(tan x) 1 −
tan 2 x
2
(voir II.5.1(a)). Il suffit donc
de montrer que 1 −
tan 2 x
2
cos 2 x pour x ∈
0 ,
π
4
. On peut réécrire
cette dernière inégalité sous la forme
2 cos
4 x − 3 cos
2 x + 1 0
qui est clairement vérifiée pour tout x ∈
0 ,
π
4
.
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