Solutions
(b) Pour p = 0, on pose f (p) =
x p +y p
2
1
p . Il suffit de prouver que
F (p) = ln f (p) =
1
p
ln
x p + y p
2
est une fonction strictement croissante. On a
F
(p) =
1
p 2
p
x p + y p (x
p ln x + y
p ln y) − ln
x p + y p
2
.
On pose
G(p) =
p
x p + y p (x
p ln x + y
p ln y) − ln
x p + y p
2
et on a
G
(p) =
p
x p ln
2 x + y p ln
2 y
(x p + y p ) − (x p ln x + y p ln y)
2
(x p + y p )
2
.
Notre but est donc de prouver que
x
p ln
2 x + y
p ln
2 y
(x
p + y
p ) − (x
p ln x + y
p ln y)
2
0.
On applique l’inégalité de Cauchy
(x 1 y 1 + x 2 y 2 )
2
x
2
1 + x
2
2
y
2
1 + y
2
2
en prenant
x 1 = x
p
2 ,
x 2 = y
p
2 ,
y 1 = x
p
2 ln x,
y 2 = y
p
2 ln y
pour obtenir
x
p
2 · x
p
2 ln x + y
p
2 · y
p
2 ln y
2 (x
p + y
p )
x
p ln
2 x + y
p ln
2 y
,
d’où
(x
p ln x + y
p ln y)
2
(x
p + y
p )
x
p ln
2 x + y
p ln
2 y
.
Ceci implique G (p) 0 pour p > 0 et G(p) = p 2 F (p) > G(0) = 0. Si
p < 0, on a alors G (p) < 0 et G(p) = p 2 F (p) > G(0) = 0. On voit
donc, pour résumer, que la fonction p → f (p) est strictement croissante
sur chacun des intervalles ]−∞ , 0[ et ]0 , +∞[. Il s’ensuit, par définition
de M 0 (x, y), que f est strictement croissante sur R.
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