Chapitre II. Dérivation
II.5.39. On note d’abord que f (x) > f(0) pour x = 0. De plus,
f
(x) =
x 2
8x + 4x sin
1
x − cos
1
x
si x = 0,
0
si x = 0.
Donc, si n ∈ Z \ {0, 1}, alors
f
1
2nπ
=
1
4n 2 π 2
4
nπ
− 1
< 0
et si n ∈ Z \ {−1}, alors
f
1
(2n + 1)π
=
1
(2n + 1) 2 π 2
8
(2n + 1)π
+ 1
> 0.
II.5.40. On observe que sh x > 0 et th x > 0 pour x > 0. On peut donc
réécrire l’inégalité
sh x
√
sh x 2 + ch x 2
< th x
sous la forme équivalente
1
√
sh x 2 + ch x 2
<
1
ch x
et cette inégalité est évidente. Les autres inégalités peuvent se démontrer avec
des arguments classiques.
II.5.41. Pour 0 < a < b, on pose x = ln
b
a . On a alors
b − a
2
a 2 +b 2
2
<
b − a
b + a
< ln
b
a
<
b − a
2
√
ab
<
1
2
·
b 2 − a 2
2ab
.
On obtient le résultat demandé en divisant les inégalités précédentes par
b−a
2 .
II.5.42.
(a) D’après la règle de l’Hospital, on a
lim
p→0
x p + y p
2
1
p
= lim
p→0
e
1
p
ln
x p +y p
2
= e
1
2
ln xy =
√ xy
car
lim
p→0
1
p
ln
x p + y p
2
= lim
p→0
ln
x p +y p
2
(p)
=
1
2
ln xy.
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