Solutions
f (x) > 0 pour tout x ∈ R, la borne inférieure de f (R) est égale à 0 mais
la fonction n’atteint pas de minimum global sur R.
II.5.37.
(a) Le maximum global de la fonction x → xe −x , x 0, est f (1) =
1
e . Donc,
1
n
n
k=1
a k e
−a k
1
n
× n ×
1
e
=
1
e
.
(b) Comme en (a), il suffit de trouver le maximum global de
x → x
2 e
−x , x 0.
(c) Si un des réels a k est nul, l’inégalité est évidente. On suppose donc que
tous les a k sont strictement positifs. En prenant le logarithme de chaque
membre, on obtient l’inégalité suivante, équivalente à celle donnée :
1
n
n
k=1
ln a k −
a k
3
ln 3 − 1.
Il suffit maintenant de trouver le maximum global de
x → ln x −
x
3
, x > 0.
II.5.38. On a
f
(x) =
1
x 2 e
−
1
|x|
√
2 + sin
1
x
sgn x − cos
1
x
si x = 0,
0
si x = 0.
Puisque
sin
1
x
± cos
1
x
√
2,
on voit que f (x) 0 si x > 0 et f (x) 0 si x < 0. La fonction f n’a donc
pas d’extrema locaux sur R ∗ . Enfin, 0 = f (0) est un minimum global de f , car
f (x) > f(0) = 0 pour x = 0.
251
f (x) > 0 pour tout x ∈ R, la borne inférieure de f (R) est égale à 0 mais
la fonction n’atteint pas de minimum global sur R.
II.5.37.
(a) Le maximum global de la fonction x → xe −x , x 0, est f (1) =
1
e . Donc,
1
n
n
k=1
a k e
−a k
1
n
× n ×
1
e
=
1
e
.
(b) Comme en (a), il suffit de trouver le maximum global de
x → x
2 e
−x , x 0.
(c) Si un des réels a k est nul, l’inégalité est évidente. On suppose donc que
tous les a k sont strictement positifs. En prenant le logarithme de chaque
membre, on obtient l’inégalité suivante, équivalente à celle donnée :
1
n
n
k=1
ln a k −
a k
3
ln 3 − 1.
Il suffit maintenant de trouver le maximum global de
x → ln x −
x
3
, x > 0.
II.5.38. On a
f
(x) =
1
x 2 e
−
1
|x|
√
2 + sin
1
x
sgn x − cos
1
x
si x = 0,
0
si x = 0.
Puisque
sin
1
x
± cos
1
x
√
2,
on voit que f (x) 0 si x > 0 et f (x) 0 si x < 0. La fonction f n’a donc
pas d’extrema locaux sur R ∗ . Enfin, 0 = f (0) est un minimum global de f , car
f (x) > f(0) = 0 pour x = 0.
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