Chapitre II. Dérivation
II.5.33. Le résultat du problème précédent implique que f atteint sa valeur
maximale
m m n n
(m+n)
m+n en un x vérifiant l’équation
sin
2 x =
m
m + n
.
II.5.34. Pour x = 0, 1, on a
f
(x) =
1
9
·
1
3 − x
3
x 2 (1 − x)
.
La dérivée f s’annule donc en x =
1
3 . De plus, f (x) > 0 si x ∈
0 ,
1
3
et
f (x) < 0 si x ∈
1
3 , 1
. Donc, f
1
3
=
3
√
4
3 est un maximum local de f . La
fonction n’est dérivable ni en 0 ni en 1. Puisque f (x) > 0 pour x ∈ ]0 , 1[
et f (x) < 0 pour x < 0, f n’atteint pas d’extremum local en 0. En revanche,
f (1) = 0 est un minimum local de f car f (x) > 0 pour x > 1 et pour x ∈ ]0 , 1[.
II.5.35. On a f (x) = Arcsin x. Seul 0 est donc un point critique de f .
Puisque f (0) = 1 et f (−1) = f (1) =
π
2 ,
π
2 est donc un maximum global et 1
un minimum global de f sur [−1 , 1].
II.5.36. On a f < 0 pour x > 1 et f (x) < f(1) =
3
2 . On a f 1
2
= 0,
f (x) < 0 si x ∈
0 ,
1
2
et f (x) > 0 si x ∈
1
2 , 1
, donc f
1
2
=
4
3 est un
minimum local de f . La dérivée f est strictement positive pour x < 0 et
3
2 = f (0) > f(x).
La fonction f atteint donc son maximum global en 0 et 1 et
f (0) = f (1) = 1. D’autre part, puisque lim
x→+∞
f (x) = lim
x→−∞
f (x) = 0 et
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