Solutions
et f (0) = −8, f 1
2
= π 2 − 8 > 0. Donc f (x) < 0 pour x ∈ ]0 , x 0 [ et
f (x) > 0 pour x ∈
x 0 ,
1
2
ou, dit autrement, f est strictement décroissante
sur x ∈ ]0 , x 0 [ et strictement croissante pour x ∈
x 0 ,
1
2
. De plus, puisque
f (0) = 4 − π > 0 et f 1
2
= 0, on voit que f (x) < 0 pour x ∈
x 0 ,
1
2
et donc aussi que f (x 0 ) < 0. Ceci implique qu’il existe x 1 ∈ ]0 , x 0 [ tel que
f (x 1 ) = 0. La monotonie de f implique que f croît sur ]0 , x 1 [ et décroît sur
x 1 ,
1
2
. Puisque f (0) = f
1
2
= 0, on obtient f (x) 0 si x ∈
0 ,
1
2
. On a
donc montré que l’inégalité est vérifiée pour x ∈
0 ,
1
2
et on vérifie facilement
qu’elle est aussi valide pour x =
1
2 . Finalement, on note que les deux inégalités
ne changent pas si on remplace x par 1 − x. Elles sont donc vérifiées pour
x ∈ ]0 , 1[.
II.5.30. On pose f (x) = e x −
n
k=0
x k
k! −
x
n (e x − 1) pour x > 0. On a
f
(x) = e
x
−
n
k=1
x k−1
(k − 1)!
−
x
n
e
x
−
1
n
e
x +
1
n
et
f
(l) (x) = e
x
−
n
k=l
x k−l
(k − l)!
−
x
n
e
x
−
l
n
e
x , l = 2, 3, . . . , n.
De plus, f (l) (0) = −
l
n < 0 pour l = 2, 3, . . . , n, f (0) = 0 et f (0) = 0. Puisque
f (n) (x) < 0 pour x > 0, la dérivée f (n−1) est strictement décroissante, ce
qui implique f (n−1) (x) < f (n−1) (0) < 0. Ceci implique alors la monotonie de
f (n−2) et f (n−2) (x) < 0 pour x > 0. En répétant le même raisonnement, on
arrive à f (x) < f(0) = 0 pour x > 0.
II.5.31. Puisque f (x) = −
x n
n! e −x , on voit que la dérivée ne s’annule qu’en 0.
De plus, si n est pair, alors f (x) < 0 pour x = 0. Dans ce cas, f n’a donc pas
d’extrema locaux. D’autre part, si n est impair, alors f (x) > 0 pour x < 0 et
f (x) < 0 pour x > 0 et, dans ce cas, f (0) = 1 est un maximum (global) de f .
II.5.32. La dérivée f (x) = (m + n)x m−1 (1 − x)
n−1
m
m+n − x
ne s’annule
qu’en x 0 = 0 (si m > 1), x 1 = 1 (si n > 1) et en x 2 =
m
m+n . On vérifie
facilement que f (x 2 ) =
m n n m
(m+n)
m+n est un maximum local. De plus, si m est
pair, alors f (x 0 ) = 0 est un minimum local de f . Si m est impair, il n’y a
pas d’extremum local en 0. La même analyse montre que si n est pair, alors
f (x 1 ) = 0 est un minimum local et si n est impair, il n’y a pas d’extremum
local en x 1 .
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et f (0) = −8, f 1
2
= π 2 − 8 > 0. Donc f (x) < 0 pour x ∈ ]0 , x 0 [ et
f (x) > 0 pour x ∈
x 0 ,
1
2
ou, dit autrement, f est strictement décroissante
sur x ∈ ]0 , x 0 [ et strictement croissante pour x ∈
x 0 ,
1
2
. De plus, puisque
f (0) = 4 − π > 0 et f 1
2
= 0, on voit que f (x) < 0 pour x ∈
x 0 ,
1
2
et donc aussi que f (x 0 ) < 0. Ceci implique qu’il existe x 1 ∈ ]0 , x 0 [ tel que
f (x 1 ) = 0. La monotonie de f implique que f croît sur ]0 , x 1 [ et décroît sur
x 1 ,
1
2
. Puisque f (0) = f
1
2
= 0, on obtient f (x) 0 si x ∈
0 ,
1
2
. On a
donc montré que l’inégalité est vérifiée pour x ∈
0 ,
1
2
et on vérifie facilement
qu’elle est aussi valide pour x =
1
2 . Finalement, on note que les deux inégalités
ne changent pas si on remplace x par 1 − x. Elles sont donc vérifiées pour
x ∈ ]0 , 1[.
II.5.30. On pose f (x) = e x −
n
k=0
x k
k! −
x
n (e x − 1) pour x > 0. On a
f
(x) = e
x
−
n
k=1
x k−1
(k − 1)!
−
x
n
e
x
−
1
n
e
x +
1
n
et
f
(l) (x) = e
x
−
n
k=l
x k−l
(k − l)!
−
x
n
e
x
−
l
n
e
x , l = 2, 3, . . . , n.
De plus, f (l) (0) = −
l
n < 0 pour l = 2, 3, . . . , n, f (0) = 0 et f (0) = 0. Puisque
f (n) (x) < 0 pour x > 0, la dérivée f (n−1) est strictement décroissante, ce
qui implique f (n−1) (x) < f (n−1) (0) < 0. Ceci implique alors la monotonie de
f (n−2) et f (n−2) (x) < 0 pour x > 0. En répétant le même raisonnement, on
arrive à f (x) < f(0) = 0 pour x > 0.
II.5.31. Puisque f (x) = −
x n
n! e −x , on voit que la dérivée ne s’annule qu’en 0.
De plus, si n est pair, alors f (x) < 0 pour x = 0. Dans ce cas, f n’a donc pas
d’extrema locaux. D’autre part, si n est impair, alors f (x) > 0 pour x < 0 et
f (x) < 0 pour x > 0 et, dans ce cas, f (0) = 1 est un maximum (global) de f .
II.5.32. La dérivée f (x) = (m + n)x m−1 (1 − x)
n−1
m
m+n − x
ne s’annule
qu’en x 0 = 0 (si m > 1), x 1 = 1 (si n > 1) et en x 2 =
m
m+n . On vérifie
facilement que f (x 2 ) =
m n n m
(m+n)
m+n est un maximum local. De plus, si m est
pair, alors f (x 0 ) = 0 est un minimum local de f . Si m est impair, il n’y a
pas d’extremum local en 0. La même analyse montre que si n est pair, alors
f (x 1 ) = 0 est un minimum local et si n est impair, il n’y a pas d’extremum
local en x 1 .
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