Chapitre II. Dérivation
II.5.28.
(a) On pose
f (x) =
sin x
x
si x ∈
0 ,
π
2
,
1
si x = 0.
On montre que f est décroissante sur
0 ,
π
2
. D’après le théorème des
accroissements finis, on a
f
(x) =
x cos x − sin x
x 2
=
cos x −
sin x
x
x
=
cos x − cos θ
x
,
où 0 < θ < x. Ceci implique f (x) < 0 sur
0 ,
π
2
. Puisque f
π
2
=
2
π ,
l’inégalité cherchée suit. (10)
(b) L’inégalité à prouver peut s’écrire sous la forme
sin x
3
π
x − 4
x 3
π 3 .
On pose
f (x) = sin x −
3
π
x + 4
x 3
π 3 , I =
0 ,
π
4
et J =
π
4
,
π
2
.
On a f (0) = f
π
2
= 0 et f
π
4
> 0. De plus, f (0) = 0, f π
4
< 0
et f (4) (x) 0 pour x ∈ I. Ceci implique f 0 sur I et f est donc
concave sur I. Puisque f (0) = 0 et f
π
4
> 0, on voit que f (x) 0 pour
x ∈ I. On montre maintenant que f est convexe sur J. En effet, puisque
f (3) π
4
> 0 et f (4) (x) > 0 pour x ∈
π
4 ,
π
2
, on voit que la dérivée troisième de f est positive sur J. On a de plus f π
4
< 0 et f π
2
= 0. On
en déduit que f (x) 0 pour x ∈ J, ce qui, combiné à f
π
2
= 0, donne
f 0 sur J.
II.5.29. On suppose d’abord que x ∈
0 ,
1
2
. On a alors
π 3 x 3
3! < πx 2 . L’inégalité sin πx > πx −
π 3 x 3
3! (voir II.5.1(b)) montre donc que
sin πx > πx −
π 3 x 3
3!
> πx(1 − x).
Pour prouver la seconde inégalité, on considère la fonction définie par
f (x) = 4x − 4x 2 − sin πx pour x ∈
0 ,
1
2
. On a f (x) = 4 − 8x − π cos πx
et f (x) = −8 + π 2 sin πx. Ainsi,
f
(x 0 ) = 0 si et seulement si x 0 =
1
π
Arcsin
8
π 2
(10) On peut prouver cette inégalité plus rapidement en remarquant que x → sin x est concave
sur
0 ,
π
2
. (N.d.T.)
248
II.5.28.
(a) On pose
f (x) =
sin x
x
si x ∈
0 ,
π
2
,
1
si x = 0.
On montre que f est décroissante sur
0 ,
π
2
. D’après le théorème des
accroissements finis, on a
f
(x) =
x cos x − sin x
x 2
=
cos x −
sin x
x
x
=
cos x − cos θ
x
,
où 0 < θ < x. Ceci implique f (x) < 0 sur
0 ,
π
2
. Puisque f
π
2
=
2
π ,
l’inégalité cherchée suit. (10)
(b) L’inégalité à prouver peut s’écrire sous la forme
sin x
3
π
x − 4
x 3
π 3 .
On pose
f (x) = sin x −
3
π
x + 4
x 3
π 3 , I =
0 ,
π
4
et J =
π
4
,
π
2
.
On a f (0) = f
π
2
= 0 et f
π
4
> 0. De plus, f (0) = 0, f π
4
< 0
et f (4) (x) 0 pour x ∈ I. Ceci implique f 0 sur I et f est donc
concave sur I. Puisque f (0) = 0 et f
π
4
> 0, on voit que f (x) 0 pour
x ∈ I. On montre maintenant que f est convexe sur J. En effet, puisque
f (3) π
4
> 0 et f (4) (x) > 0 pour x ∈
π
4 ,
π
2
, on voit que la dérivée troisième de f est positive sur J. On a de plus f π
4
< 0 et f π
2
= 0. On
en déduit que f (x) 0 pour x ∈ J, ce qui, combiné à f
π
2
= 0, donne
f 0 sur J.
II.5.29. On suppose d’abord que x ∈
0 ,
1
2
. On a alors
π 3 x 3
3! < πx 2 . L’inégalité sin πx > πx −
π 3 x 3
3! (voir II.5.1(b)) montre donc que
sin πx > πx −
π 3 x 3
3!
> πx(1 − x).
Pour prouver la seconde inégalité, on considère la fonction définie par
f (x) = 4x − 4x 2 − sin πx pour x ∈
0 ,
1
2
. On a f (x) = 4 − 8x − π cos πx
et f (x) = −8 + π 2 sin πx. Ainsi,
f
(x 0 ) = 0 si et seulement si x 0 =
1
π
Arcsin
8
π 2
(10) On peut prouver cette inégalité plus rapidement en remarquant que x → sin x est concave
sur
0 ,
π
2
. (N.d.T.)
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