Solutions
II.5.26. On considère la fonction
f (x) = (1 + x)
α
− 1 − αx −
α(α − 1)
8
x
2 , x ∈ [−1 , 1].
On a f (0) = 0, f (0) = 0 et, pour x ∈ ]−1 , 1[,
f
(x) = −α(1 − α) (1 + x)
α−2 +
α(1 − α)
4
< −2
α−2 α(1 − α) +
α(1 − α)
4
=
1
4
α(1 − α) (1 − 2
α ) < 0.
La dérivée f est donc décroissante sur l’intervalle ]−1 , 1[, ce qui implique
f (x) > 0 pour x ∈ ]−1 , 0[ et f (x) < 0 pour x ∈ ]0 , 1[. Il s’ensuit que f
atteint son maximum en 0. Puisque f (0) = 0, on voit que f (x) 0 pour
x ∈ [−1 , 1].
II.5.27. [D.S. Mitrinović, J.E. Pe˘ carić, Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo 42
(1993), 317-337]. On considère la fonction
f (x) = (1 + x)
α
− 1 − αx −
α(α − 1)
2
(1 + B)
α−2 x
2 , x ∈ [−1 , B].
On a
f
(x) = α (1 + x)
α−1
− α − α(α − 1) (1 + B)
α−2 x
et
f
(x) = α(α − 1)
(1 + x)
α−2
− (1 + B)
α−2
.
(a) Si 0 < α < 1 et x ∈ ]−1 , B[, alors f (x) < 0 ce qui signifie que f est
décroissante. Donc, 0 = f (0) < f (x) si x ∈ ]−1 , 0[ et 0 = f (0) > f (x)
si x ∈ ]0 , B[. La fonction f atteint son maximum en 0 et f (x) f (0) = 0
pour x ∈ [−1 , B]. Finalement, puisque (1 + B)
α
1, on voit que
(1 + x)
α
− 1 − αx −
α(α − 1)
2 (1 + B)
2 x
2
f (x) f (0) = 0.
(b) Comme en (a), si 1 < α < 2 et x ∈ [−1 , B], alors f (x) f (0) = 0 et
(1 + x)
α
− 1 − αx −
α(α − 1)
2 (1 + B)
2 x
2
f (x) f (0) = 0.
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