Chapitre II. Dérivation
II.5.47. Si a k = b k pour tout k, la proposition est alors évidente. On suppose
donc que a k = b k pour au moins une valeur de l’indice k et on pose
f (x) =
n
k=1
(xa k + (1 − x)b k ) et g(x) = ln f (x).
On a alors
g
(x) =
n
k=1
a k − b k
xa k + (1 − x)b k
et g
(x) = −
n
k=1
a k − b k
xa k + (1 − x)b k
2
.
Puisque g (x) < 0, la fonction g (et donc aussi f ) atteint son maximum sur
[0 , 1] en une des extrémités de l’intervalle si et seulement si g (0) et g (1) ont le
même signe, c’est-à-dire si g (0)g (1) 0. Cette dernière inégalité s’écrit aussi
n
k=1
a k − b k
a k
n
k=1
a k − b k
b k
0.
II.5.48. D’après II.5.1(a) et (c), on a
1 −
x 2
2
cos x 1 −
x 2
2
+
x 4
24
, x ∈ R.
Il suffit donc, pour prouver notre inégalité, de montrer que
1 −
x 2
2
+
x 4
24
+ 1 −
y 2
2
+
y 4
24
1 + 1 −
x 2 y 2
2
ou, de façon équivalente,
x
4 + y
4 + 12x
2 y
2
− 12
x
2 + y
2
0 pour x
2 + y
2
π.
On peut écrire cette dernière inégalité en coordonnées polaires (r, θ) comme
suit :
r
2
2 + 5 sin
2 2θ
24 pour r
2
π et θ ∈ [0 , 2π].
(∗)
Puisque
r
2
2 + 5 sin
2 2θ
7π < 24,
l’inégalité (∗) est bien vérifiée.
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