Chapitre II. Dérivation
(b) Soit 0 < a < b, on pose p =
a
b et q = 1 − p. La convexité et la sousadditivité de f donnent
f (b) = f (pa + q(a + b)) pf (a) + qf (a + b)
pf (a) + q(f (a) + f (b)) = f (a) +
1 −
a
b
f (b).
Donc,
f (b)
b
f (a)
a
.
II.4.32. On suppose, contrairement à la proposition à montrer, que f n’est
ni strictement convexe, ni strictement concave. Il existe alors des points α et
β dans ]a , b[ tels que la droite passant par (α, f (α)) et (β, f (β)) rencontre le
graphe de f en un point (γ, f (γ)), où α < γ < β. Par hypothèse, il existe un
unique ζ 1 ∈ ]α , γ[ et un unique ζ 2 ∈ ]γ , β[ tels que
f (γ) − f (α)
γ − α
= f
(ζ 1 ) et
f (β) − f (γ)
β − γ
= f
(ζ 2 ).
Les points (α, f (α)), (β, f (β)) et (γ, f (γ)) étant alignés, on en déduit que
f (ζ 1 ) = f (ζ 2 ), ce qui contredit l’hypothèse.
II.4.33. On note d’abord que les dérivées de Dini
D
+ f (x) = lim
t→0 +
f (x + t) − f (x)
t
,
D + f (x) = lim
t→0 +
f (x + t) − f (x)
t
,
D
− f (x) = lim
t→0 −
f (x + t) − f (x)
t
,
D − f (x) = lim
t→0 −
f (x + t) − f (x)
t
234