Solutions
II.4.29. La fonction f étant continue sur I (voir I.2.33), elle est localement
bornée. Soit x 0 ∈ I et ε > 0 suffisamment petit pour que [x 0 − 2ε , x 0 + 2ε] ⊂ I.
Le fait que f soit localement bornée implique qu’il existe M > 0 tel que
|f (x)| M pour x ∈ [x 0 − 2ε , x 0 + 2ε].
(∗)
Soit x 1 et x 2 deux points distincts de [x 0 −ε , x 0 +ε], x 3 = x 2 +
ε
|x 2 −x 1 | (x 2 − x 1 )
se trouve dans [x 0 − 2ε , x 0 + 2ε] et
x 2 =
ε
|x 2 − x 1 | + ε
x 1 +
|x 2 − x 1 |
|x 2 − x 1 | + ε
x 3 .
La fonction f étant convexe, on voit que
f (x 2 )
ε
|x 2 − x 1 | + ε
f (x 1 ) +
|x 2 − x 1 |
|x 2 − x 1 | + ε
f (x 3 )
et
f (x 2 ) − f (x 1 )
|x 2 − x 1 |
|x 2 − x 1 | + ε
(f (x 3 ) − f (x 1 )) ,
|x 2 − x 1 |
ε
|f (x 3 ) − f (x 1 )| ,
ce qui, combiné à (∗), montre que f (x 2 ) − f (x 1 )
2M
ε |x 2 − x 1 |. Les rôles de
x 1 et x 2 pouvant être échangés, on obtient |f (x 2 ) − f (x 1 )|
2M
ε |x 2 − x 1 |.
II.4.30. Soit x 1 < x 2 deux éléments de R ∗
+ . Si 0 < x < x 1 , alors
x 1 =
x 2 − x 1
x 2 − x
x +
x 1 − x
x 2 − x
x 2 .
La convexité de f implique
f (x 1 )
x 2 − x 1
x 2 − x
f (x) +
x 1 − x
x 2 − x
f (x 2 )
et, par passage à la limite lorsque x tend vers 0 + , on voit que
f (x 1 )
x 1
x 2
f (x 2 ).
II.4.31.
(a) La monotonie de x →
f (x)
x implique
f (x 1 + x 2 ) = x 1
f (x 1 + x 2 )
x 1 + x 2
+ x 2
f (x 1 + x 2 )
x 1 + x 2
f (x 1 ) + f (x 2 )
pour x 1 , x 2 0.
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