Chapitre II. Dérivation
Soit t un point de [0 , 1]. L’ensemble
T =
+∞
n=0
T n
étant dense dans [0 , 1], il existe une suite {s n } de points de T telle que
t = lim
n→+∞
s n . On a donc, par continuité de f ,
f ((1 − t)x + ty) = lim
n→+∞
f ((1 − s n )x + s n y)
lim
n→+∞
((1 − s n )f (x) + s n f (y))
= (1 − t)f (x) + tf (y).
II.4.27. Il existe des fonctions f : R −→ R additives et discontinues
(voir I.6.31). Si f est une telle fonction, alors pour tout x ∈ R,
f (x) = f
x
2
+
x
2
= f
x
2
+ f
x
2
= 2f
x
2
,
et f
x
2
=
1
2 f (x). Donc, pour tout x, y ∈ R, on a
f
x + y
2
= f
x
2
+
y
2
=
1
2
f (x) +
1
2
f (y) =
f (x) + f (y)
2
.
Si f était convexe sur R, elle y serait continue (voir I.2.33), contradiction.
II.4.28. On suppose par exemple que x < y. Pour t ∈ ]0 , 1[, on pose
z = (1 − t)x + ty. On a x < z < y et il existe a ∈ ]x , z[ et b ∈ ]z , y[ tels
que z =
a+b
2 . De même, il existe t a ∈ ]0 , t[ et t b ∈ ]t , 1[ tels que
a = (1 − t a )x + t a y et b = (1 − t b )x + t b y.
Puisque z =
a+b
2 , on a t =
ta+t b
2 . On sait par le résultat de II.4.26 que f est
convexe sur I. On prouve maintenant que f est strictement convexe. On a
f ((1 − t)x + ty) = f (z) <
f (a) + f (b)
2
=
f ((1 − t a )x + t a y) + f ((1 − t b )x + t b y)
2
(1 − t a )f (x) + t a f (y) + (1 − t b )f (x) + t b f (y)
2
=
1 −
t a + t b
2
f (x) +
t a + t b
2
f (y)
= (1 − t)f (x) + tf (y).
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