Solutions
existent toujours (finies ou infinies). De plus, g d étant dérivable, on obtient
(voir I.4.10)
D
+ f (x + d) = D
+ f (x) + g
d (x),
D + f (x + d) = D + f (x) + g
d (x),
D
− f (x + d) = D
− f (x) + g
d (x),
D − f (x + d) = D − f (x) + g
d (x)
pour tout x ∈ R. Chaque dérivée de Dini de f en x + d est donc un translaté de la dérivée correspondante en x. Maintenant, pour a < b fixés, on
pose m = (f (b) − f (a))/(b − a) et on pose F (x) = f (x) − m(x − a). On a
F (a) = F (b) = f (a) et F atteint donc son maximum ou son minimum sur
[a , b] en un point c ∈ ]a , b[. On peut supposer, sans perte de généralité, que
F (c) est le maximum de F . Donc, si c + t ∈ ]a , b[, alors F (c + t) F (c) ou,
dit autrement, f (c + t) − f (c) mt. Ceci implique D + f (c) m D − f (c).
Chaque dérivée de Dini de f en x étant un translaté de la dérivée correspondante en c, on voit que D + f (x) D − f (x) pour tout x. Si f est concave
sur [a , b], f est alors dérivable, excepté sur un ensemble au plus dénombrable
(voir II.4.19). Il s’ensuit que f est dérivable sur [a , b]. Si f n’est pas concave
sur [a , b], elle atteint aussi son minimum sur [a , b] en un point de l’intervalle
ouvert ]a , b[. Comme précédemment, on montre alors que D − f (x) D + f (x)
pour tout x. En conséquence, D + f (x) D − f (x) D − f (x) D + f (x) pour
tout x. La dérivabilité de f sur R est donc prouvée.
Notre but est maintenant de prouver que f est continue. On suppose, au
contraire, que f est discontinue en un point x 0 . Il existe alors une suite {z n }
convergente vers x 0 telle que {f (z n )} converge vers f (x 0 ) + r pour un certain
r = 0 ou bien telle que {f (z n )} ne soit pas bornée. Dans le second cas, on
peut trouver une suite {y n } telle que {f (y n )} diverge, par exemple, vers +∞.
On a alors
f (x 0 ) − f (y n )
x 0 − y n
= f
(y n ) + o(1)
et, par passage à la limite lorsque n tend vers +∞, on obtient f (x 0 ) = +∞,
contradiction. Dans le premier cas, il existe une suite {y n } telle que
f (y n ) = f (x 0 ) + r/2 car f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires
(voir II.2.31). Clairement, on peut supposer que la suite approche x 0 d’un
côté, par exemple par valeurs supérieures. Par hypothèse, on peut trouver pour
tout x une telle suite avec le même r. En effet, puisque x = x 0 +(x−x 0 ) = x 0 +d
et
f
(z n + d) − g
d (z n ) = f
(z n ) = f
(x 0 ) + r = f
(x 0 + d) − g
d (x 0 ) + r,
on a, par passage à la limite,
lim
n→+∞
f
(z n + d) = f
(x) + r.
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existent toujours (finies ou infinies). De plus, g d étant dérivable, on obtient
(voir I.4.10)
D
+ f (x + d) = D
+ f (x) + g
d (x),
D + f (x + d) = D + f (x) + g
d (x),
D
− f (x + d) = D
− f (x) + g
d (x),
D − f (x + d) = D − f (x) + g
d (x)
pour tout x ∈ R. Chaque dérivée de Dini de f en x + d est donc un translaté de la dérivée correspondante en x. Maintenant, pour a < b fixés, on
pose m = (f (b) − f (a))/(b − a) et on pose F (x) = f (x) − m(x − a). On a
F (a) = F (b) = f (a) et F atteint donc son maximum ou son minimum sur
[a , b] en un point c ∈ ]a , b[. On peut supposer, sans perte de généralité, que
F (c) est le maximum de F . Donc, si c + t ∈ ]a , b[, alors F (c + t) F (c) ou,
dit autrement, f (c + t) − f (c) mt. Ceci implique D + f (c) m D − f (c).
Chaque dérivée de Dini de f en x étant un translaté de la dérivée correspondante en c, on voit que D + f (x) D − f (x) pour tout x. Si f est concave
sur [a , b], f est alors dérivable, excepté sur un ensemble au plus dénombrable
(voir II.4.19). Il s’ensuit que f est dérivable sur [a , b]. Si f n’est pas concave
sur [a , b], elle atteint aussi son minimum sur [a , b] en un point de l’intervalle
ouvert ]a , b[. Comme précédemment, on montre alors que D − f (x) D + f (x)
pour tout x. En conséquence, D + f (x) D − f (x) D − f (x) D + f (x) pour
tout x. La dérivabilité de f sur R est donc prouvée.
Notre but est maintenant de prouver que f est continue. On suppose, au
contraire, que f est discontinue en un point x 0 . Il existe alors une suite {z n }
convergente vers x 0 telle que {f (z n )} converge vers f (x 0 ) + r pour un certain
r = 0 ou bien telle que {f (z n )} ne soit pas bornée. Dans le second cas, on
peut trouver une suite {y n } telle que {f (y n )} diverge, par exemple, vers +∞.
On a alors
f (x 0 ) − f (y n )
x 0 − y n
= f
(y n ) + o(1)
et, par passage à la limite lorsque n tend vers +∞, on obtient f (x 0 ) = +∞,
contradiction. Dans le premier cas, il existe une suite {y n } telle que
f (y n ) = f (x 0 ) + r/2 car f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires
(voir II.2.31). Clairement, on peut supposer que la suite approche x 0 d’un
côté, par exemple par valeurs supérieures. Par hypothèse, on peut trouver pour
tout x une telle suite avec le même r. En effet, puisque x = x 0 +(x−x 0 ) = x 0 +d
et
f
(z n + d) − g
d (z n ) = f
(z n ) = f
(x 0 ) + r = f
(x 0 + d) − g
d (x 0 ) + r,
on a, par passage à la limite,
lim
n→+∞
f
(z n + d) = f
(x) + r.
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