Solutions
(b) Il suffit d’appliquer l’inégalité de Jensen à la fonction
f (x) = ln
1 + x
1 − x
, 0 < x < 1.
On remarque que si p k =
1
n pour k = 1, 2, . . . , n et si
n
k=1
x k = 1, on
retrouve alors l’inégalité donnée en I.2.45 (vol. I).
II.4.10.
(a) On définit f (x) = ln(sin x) pour x ∈ ]0 , π[. Puisque f (x) = −
1
sin 2 x
< 0,
on voit que f est concave sur ]0 , π[. Il suffit alors d’appliquer l’inégalité
de Jensen (voir II.4.3) à −f .
(b) On considère la fonction définie par
f (x) = ln(sin x) − ln x, x ∈ ]0 , π[ ,
on remarque que f (x) = −
1
sin 2 x
+
1
x 2 < 0 et on applique l’inégalité de
Jensen (voir II.4.3) à −f .
II.4.11. On note que la fonction f (x) =
x +
1
x
a est convexe sur R ∗
+ car
f
(x) = a
x +
1
x
a−2
(a − 1)
1 −
1
x 2
+
2
x 3
x +
1
x
> 0.
D’après l’inégalité de Jensen (voir II.4.3), on a
n 2 + 1
n
a
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1
n
n
k=1
x k +
1
1
n
n
k=1
x k
⎞
⎟
⎟
⎠
a
1
n
n
k=1
x k +
1
x k
a
.
Donc,
n
k=1
x k +
1
x k
a
n 2 + 1
a
n a−1 .
II.4.12. On obtient, en appliquant l’inégalité de Jensen à x → − ln x, x > 0,
1
n
ln 1 + ln
2 2 − 1
2
+ ln
2 3 − 1
2 2 + . . . + ln
2 n − 1
2 n−1
ln
1
n
1 +
2 2 − 1
2
+
2 3 − 1
2 2 + . . . +
2 n − 1
2 n−1
= ln
2 −
2
n
+
1
n2 n−1
.
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