Chapitre II. Dérivation
II.4.13.
(a) On obtient, en appliquant l’inégalité de Jensen à f (x) =
1
x , x > 0,
1
1
n x 1 + . . . +
1
n x n
1
n
·
1
x 1
+ . . . +
1
n
·
1
x n
.
D’où,
n 2
x 1 + . . . + x n
1
x 1
+ . . . +
1
x n
.
(b) On obtient, en appliquant l’inégalité de Jensen à f (x) = − ln x, x > 0,
ln (x
α 1
1 · · · x
αn
n ) = α 1 ln x 1 + . . . + α n ln x n
ln(α 1 x 1 + . . . + α n x n ).
D’où,
x
α 1
1 · · · x
αn
n α 1 x 1 + . . . + α n x n .
(∗)
On obtient la première inégalité en remplaçant x k par
1
x k
dans (∗).
(c) Si un des x k ou y k est nul, l’inégalité est alors évidente. On peut donc
supposer que x k , y k > 0 pour k = 1, 2, . . . , n. On peut alors réécrire cette
inégalité sous la forme
x
α 1
1 x
α 2
2 · · · x αn
n + y
α 1
1 y
α 2
2 · · · y αn
n
(x 1 + y 1 )
α 1 (x 2 + y 2 )
α 2 · · · (x n + y n )
αn 1.
Maintenant, d’après (b),
x
α 1
1 x
α 2
2 · · · x αn
n + y
α 1
1 y
α 2
2 · · · y αn
n
(x 1 + y 1 )
α 1 (x 2 + y 2 )
α 2 · · · (x n + y n )
αn
α 1
x 1
x 1 + y 1
+ . . . + α n
x n
x n + y n
+ α 1
y 1
x 1 + y 1
+ . . . + α n
y n
x n + y n
= 1.
(d) Cette inégalité se déduit de (c) par récurrence sur m.
II.4.14. On suppose, contrairement à la proposition, que f n’est pas
constante sur R. Il existe alors x 1 < x 2 tels que f (x 1 ) < f(x 2 ) ou
f (x 1 ) > f(x 2 ). Soit x tel que x 1 < x 2 < x. On a alors
f (x 2 ) = f
x − x 2
x − x 1
x 1 +
x 2 − x 1
x − x 1
x
x − x 2
x − x 1
f (x 1 ) +
x 2 − x 1
x − x 1
f (x)
et
f (x)
x − x 1
x 2 − x 1
f (x 2 ) −
x − x 2
x 2 − x 1
f (x 1 ).
(∗)
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