Chapitre II. Dérivation
II.4.4. Puisque ln
(x) = −
1
x 2 , la fonction x → ln x est concave sur R ∗
+ . Donc,
ln
x p
p
+
y q
q
1
p
ln x
p +
1
q
ln y
q = ln(xy).
II.4.5. La fonction x → ln x étant concave sur R ∗
+ , on obtient
ln
x 1
n
+
x 2
n
+ . . . +
x n
n
1
n
(ln x 1 + ln x 2 + . . . + ln x n )
=
1
n
ln(x 1 x 2 · · · x n ).
II.4.6. La fonction x → e x est strictement convexe sur R.
Si, par exemple, a < b, l’aire sous le graphe de y = e x de x = a à x = b est
inférieure à l’aire du trapèze de sommets (a, 0), (b, 0), (a, e a ) et (b, e b ). D’où,
e
b
− e
a =
b
a
e
t dt < (b − a)
e a + e b
2
.
II.4.7. On considère la fonction donnée par f (x) = x ln x, x > 0. On a
f (x) =
1
x > 0 et f est donc convexe. D’où,
x + y
2
ln
x + y
2
x
2
ln x +
y
2
ln y.
II.4.8. Utilisez le fait que x → x α , α > 1, est convexe sur R ∗
+ .
II.4.9.
(a) La fonction f (x) = ln
1
x + 1
est convexe sur R ∗
+ car f (x) > 0 sur cet
intervalle. Le résultat se déduit donc de l’inégalité de Jensen (voir II.4.3).
On remarque que si p k =
1
n pour k = 1, 2, . . . , n et si
n
k=1
x k = 1, on
retrouve alors l’inégalité donnée en I.2.4(a) (vol. I).
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