Solutions
La fonction g appartient donc à C 1
]−1,1[ . On procède alors par récurrence. On
suppose que g (n) (0) =
f (n+1) (0)
n+1
et g ∈ C n
]−1,1[ . D’après (∗) et la règle de
l’Hospital, on a alors
g
(n+1) (0) = lim
x→0
g (n) (x) − g (n) (0)
x
= lim
x→0
n
k=0
(−1)
n−k n!
k! f (k) (x)x k − x n+1 g (n) (0)
x n+2
= lim
x→0
n
k=0
(−1)
n−k n!
k! f (k) (x)x k − x n+1 f (n+1) (0)
n+1
x n+2
= lim
x→0
⎛
⎜
⎜
⎝
n! (−1)
n f (x) +
n
k=1
(−1)
n−k n!
k! f (k+1) (x)x k
(n + 2)x n+1
+
n
k=1
(−1)
n−k
n!
(k−1)! f (k) (x)x k−1 − x n f (n+1) (0)
(n + 2)x n+1
⎞
⎟
⎟
⎠
= lim
x→0
⎛
⎜
⎜
⎝
n! (−1)
n f (x) +
n
k=1
(−1)
n−k n!
k! f (k+1) (x)x k
(n + 2)x n+1
+
n−1
k=0
(−1)
n−1−k n!
k! f (k+1) (x)x k − x n f (n+1) (0)
(n + 2)x n+1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
= lim
x→0
x n
f (n+1) (x) − f (n+1) (0)
(n + 2)x n+1
=
f (n+2) (0)
n + 2
.
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