Chapitre II. Dérivation
Par hypothèse, on voit donc que c 1. Clairement, si c = 1, alors
lim
x→+∞
xf (x)
f (x)
=
1
1 − c
.
(∗)
On prouve maintenant que lim
x→+∞
f (x) = +∞. On a, d’après la formule de
Taylor,
f (x + h) = f (x) + f
(x)h + f
(ζ)
h 2
2
, h > 0.
Donc, f (x + h) > f(x) + f (x)h. En faisant tendre h vers +∞, on voit que
lim
x→+∞
f (x) = +∞. De nouveau avec la règle de l’Hospital, on a
lim
x→+∞
xf (x)
f (x)
= lim
x→+∞
f (x) + xf (x)
f (x)
= 1 +
1
1 − c
,
ce qui, combiné à (∗), donne
lim
x→+∞
f (x)f (x)
(f (x)) 2 = lim
x→+∞
xf (x)
f (x)
·
f (x)
xf (x)
=
1
2 − c
.
II.3.43. Pour x = 0, d’après la formule de Leibniz, on a
g
(n) (x) =
n
k=0
n
k
f
(k) (x)
1
x
(n−k)
(∗)
=
n
k=0
(−1)
n−k n!
k!
f
(k) (x)
1
x n+1−k .
On pose g(0) = f (0). Une application de la règle de l’Hospital donne
g
(0) = lim
x→0
g(x) − f (0)
x
= lim
x→0
f (x) − xf (0)
x 2
= lim
x→0
f (x) − f (0)
2x
=
f (0)
2
et g (0) existe donc. On montre maintenant que g est continue en 0. D’après (∗)
et la règle de l’Hospital, on a
lim
x→0
g
(x) = lim
x→0
f (x) − g(x)
x
= lim
x→0
xf (x) − f (x)
x 2
= lim
x→0
xf (x)
2x
= g
(0).
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