Chapitre II. Dérivation
Notre but est maintenant de prouver que g (n+1) est continue en 0. De nouveau
à l’aide de (∗) et la règle de l’Hospital, on trouve
lim
x→0
g
(n+1) (x) = lim
x→0
n+1
k=0
(−1)
n+1−k (n+1)!
k! f (k) (x)x k
x n+2
= lim
x→0
n+1
k=0
(−1)
n+1−k (n+1)!
k!
f (k+1) (x)x k +
n+1
k=1
(−1)
n+1−k (n+1)!
(k−1)!
f (k) (x)x k−1
(n + 2)x n+1
= lim
x→0
f (n+2) (x)
n + 2
= g
(n+1) (0).
Pour résumer ce qui précède, on voit que le prolongement de g défini précédemment est C ∞ sur ]−1 , 1[ et g (n) (0) =
f (n+1) (0)
n+1
pour n ∈ N.
II.4. Fonctions convexes
II.4.1. Soit f une fonction convexe sur I. Pour x 1 < x < x 2 , on a
f (x) − f (x 1 )
x − x 1
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
(1)
(voir (1) dans la solution de I.2.33). D’autre part, puisque
x =
x 2 − x
x 2 − x 1
x 1 +
x − x 1
x 2 − x 1
x 2 ,
on voit que
f (x)
x 2 − x
x 2 − x 1
f (x 1 ) +
x − x 1
x 2 − x 1
f (x 2 )
et (9)
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
f (x 2 ) − f (x)
x 2 − x
.
Ceci, combiné à (1), donne
f (x) − f (x 1 )
x − x 1
f (x 2 ) − f (x)
x 2 − x
.
(2)
Par passage à la limite lorsque x tend vers x
+
1 , on voit que
f
(x 1 )
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
.
(9) Cette inégalité et l’inégalité (1) forment le lemme des trois cordes. (N.d.T.)
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