Chapitre II. Dérivation
(c) Pour trouver la limite de f (x) g(x) lorsque x tend vers 0 + , il suffit de déterminer lim
x→0 +
ln f (x)
1
g(x)
. Cependant, cette limite ne peut pas être calculée
à l’aide de la règle de L’Hospital, l’hypothèse d’existence de la limite du
quotient des dérivées n’est pas vérifiée. On a prouvé en I.1.23(a) que la
limite est égale à 1.
(d) La limite est égale à 1 (voir I.1.23(b)). Cependant, on ne peut pas appliquer la règle de L’Hospital pour la trouver.
II.3.38. On a
lim
x→0
1
x ln 2 −
1
2 x −1 −
1
2
x
= lim
t→0
1
ln(1+t) −
1
t −
1
2
ln(1+t)
ln 2
= lim
t→0
ln 2(2t − 2 ln(1 + t) − t ln(1 + t))
2t ln
2 (1 + t)
= −
ln 2
12
,
la dernière égalité s’obtenant en appliquant successivement plusieurs fois la
règle de l’Hospital. Donc, f (0) = −
ln 2
12 .
II.3.39. Comme dans la solution de II.3.28, on montre que
n
k=0
(−1)
k
n
k
k
r =
0 si r = 0, 1, . . . , n − 1,
n! r = n.
Il suffit maintenant, pour obtenir l’égalité demandée, d’appliquer n fois de suite
la règle de l’Hospital.
II.3.40. On suppose d’abord que lim
x→a +
g(x) = +∞ et L ∈ R. D’après (iii),
étant donné ε > 0, il existe a 1 tel que
L − ε <
f (x)
g (x)
< L + ε
(∗)
pour x ∈ ]a , a 1 [. Puisque g vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, (i)
implique que g ne change pas de signe sur ]a , b[ et g est donc strictement
monotone sur ]a , b[. Pour x, y ∈ ]a , a 1 [, x < y, d’après le théorème des accroissements finis généralisé, on a
f (x) − f (y)
g(x) − g(y)
=
f (x 0 )
g (x 0 )
218
(c) Pour trouver la limite de f (x) g(x) lorsque x tend vers 0 + , il suffit de déterminer lim
x→0 +
ln f (x)
1
g(x)
. Cependant, cette limite ne peut pas être calculée
à l’aide de la règle de L’Hospital, l’hypothèse d’existence de la limite du
quotient des dérivées n’est pas vérifiée. On a prouvé en I.1.23(a) que la
limite est égale à 1.
(d) La limite est égale à 1 (voir I.1.23(b)). Cependant, on ne peut pas appliquer la règle de L’Hospital pour la trouver.
II.3.38. On a
lim
x→0
1
x ln 2 −
1
2 x −1 −
1
2
x
= lim
t→0
1
ln(1+t) −
1
t −
1
2
ln(1+t)
ln 2
= lim
t→0
ln 2(2t − 2 ln(1 + t) − t ln(1 + t))
2t ln
2 (1 + t)
= −
ln 2
12
,
la dernière égalité s’obtenant en appliquant successivement plusieurs fois la
règle de l’Hospital. Donc, f (0) = −
ln 2
12 .
II.3.39. Comme dans la solution de II.3.28, on montre que
n
k=0
(−1)
k
n
k
k
r =
0 si r = 0, 1, . . . , n − 1,
n! r = n.
Il suffit maintenant, pour obtenir l’égalité demandée, d’appliquer n fois de suite
la règle de l’Hospital.
II.3.40. On suppose d’abord que lim
x→a +
g(x) = +∞ et L ∈ R. D’après (iii),
étant donné ε > 0, il existe a 1 tel que
L − ε <
f (x)
g (x)
< L + ε
(∗)
pour x ∈ ]a , a 1 [. Puisque g vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, (i)
implique que g ne change pas de signe sur ]a , b[ et g est donc strictement
monotone sur ]a , b[. Pour x, y ∈ ]a , a 1 [, x < y, d’après le théorème des accroissements finis généralisé, on a
f (x) − f (y)
g(x) − g(y)
=
f (x 0 )
g (x 0 )
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