Solutions
(c) 1/e.
(d) 1.
(e) e
−
1
6 .
II.3.35. Pour prouver que
lim
x→+∞
f
a
√
x
x
= lim
x→+∞
e
x ln f
a
√ x
= e
−
a 2
2
on peut utiliser un développement limité (voir II.3.1) qui donne
f (x) = 1 −
x 2
2
+ o
x
2
,
puis appliquer I.1.17(a). On peut aussi utiliser la règle de L’Hospital de la
façon suivante :
lim
x→+∞
x ln f
a
√
x
= lim
t→0 +
ln f
a
√
t
t
= lim
t→0 +
af
a
√
t
2
√
tf
a
√
t
= lim
t→0 +
a 2 f
a
√
t
2f
a
√
t
+ 2a
√
tf
a
√
t
= −
a 2
2
.
II.3.36. On suppose d’abord que a > 1. La règle de L’Hospital donne
lim
x→+∞
a x − 1
x(a − 1)
1
x
= a.
Si 0 < a < 1, alors
lim
x→+∞
a x − 1
x(a − 1)
1
x
= 1.
II.3.37.
(a) Puisque lim
x→+∞
1−cos x
2+cos x n’existe pas, on ne peut pas appliquer la règle de
L’Hospital. Clairement, la limite est égale à 1/2.
(b) On ne peut pas appliquer la règle de L’Hospital car la dérivée de la
fonction au dénominateur s’annule en
π
2 + 2πn, n ∈ N ∗ . Par ailleurs, on
prouve facilement que cette limite n’existe pas.
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