Solutions
La proposition se déduit alors du fait que f vérifie la propriété des valeurs
intermédiaires.
On suit maintenant E. I. Poffald pour démontrer la formule demandée. La
formule de Taylor avec reste intégral (voir II.3.4) donne
f
(n)
x
n + 1
= f
(n) (0) + f
(n+1) (0)
x
n + 1
+
x
n+1
0
f
(n+2) (t)
x
n + 1
− t
dt.
Donc,
f (0) +
f (0)
1!
x + . . . +
f (n−1) (0)
(n − 1)!
x
n−1 +
f (n)
x
n+1
n!
x
n
= f (0) +
f (0)
1!
x + . . . +
f (n−1) (0)
(n − 1)!
x
n−1
+
f
(n) (0) + f
(n+1) (0)
x
n + 1
+
x
n+1
0
f
(n+2) (t)
x
n + 1
− t
dt
x n
n!
= f (0)+
f (0)
1!
x+. . . +
f (n+1) (0)
(n + 1)!
x
n+1 +
x n
n!
x
n+1
0
f
(n+2) (t)
x
n + 1
−t
dt.
D’autre part, la formule de Taylor avec reste intégral donne aussi
f (x) = f (0)+
f (0)
1!
x+. . .+
f (n+1) (0)
(n + 1)!
x
n+1 +
1
(n + 1)!
x
0
f
(n+2) (t) (x − t)
n+1 dt.
En conséquence,
f (x) −
⎛
⎝ f (0) +
f (0)
1!
x + . . . +
f (n−1) (0)
(n − 1)!
x
n−1 +
f (n)
x
n+1
n!
x
n
⎞
⎠
=
1
(n + 1)!
x
0
f
(n+2) (t) (x − t)
n+1 dt −
x n
n!
x
n+1
0
f
(n+2) (t)
x
n + 1
− t
dt
=
1
n!
x
n+1
0
f
(n+2) (t)
(x − t) n+1
n + 1
− x
n
x
n + 1
− t
dt
+
1
(n + 1)!
x
x
n+1
f
(n+2) (t) (x − t)
n+1 dt.
On considère la fonction g définie par
g(t) =
(x − t)
n+1
n + 1
− x
n
x
n + 1
− t
pour t ∈ [0 , x].
On vérifie facilement que g (t) > 0 pour t ∈ ]0 , x[ et g(0) = 0. La fonction
g est donc strictement positive sur l’intervalle ouvert ]0 , x[. La formule de la
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