Chapitre II. Dérivation
moyenne pour les intégrales prouvée au début de la solution nous donne
x
n+1
0
f
(n+2) (t)
(x − t)
n+1
n + 1
− x
n
x
n + 1
− t
dt = f
(n+2) (ξ 1 )
x
n+1
0
g(t) dt
et
x
x
n+1
f
(n+2) (t) (x − t)
n+1 dt = f
(n+2) (ξ 2 )
x
x
n+1
(x − t)
n+1 dt.
Il découle de ce qui précède que
f (x) −
⎛
⎝ f (0) +
f (0)
1!
x + . . . +
f (n−1) (0)
(n − 1)!
x
n−1 +
f (n)
x
n+1
n!
x
n
⎞
⎠
=
1
n!
f
(n+2) (ξ 1 )
x
n+1
0
g(t) dt +
1
(n + 1)!
f
(n+2) (ξ 2 )
x
x
n+1
(x − t)
n+1 dt.
On voit, en posant
λ 1 =
x
n+1
0
g(t) dt et λ 2 =
x
x
n+1
(x − t)
n+1
n + 1
dt,
que
λ 1 + λ 2 =
x n+2 n
2 (n + 1)
2 (n + 2)
.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires,
f (n+2) (ξ 1 )
x
n+1
0
g(t) dt + f (n+2) (ξ 2 )
x
x
n+1
(x−t) n+1
n+1
dt
x n+2 n
2(n+1)
2 (n+2)
= f
(n+2) (ξ),
ξ se trouvant entre ξ 1 et ξ 2 . Donc,
f (x) −
⎛
⎝ f (0) +
f (0)
1!
x + . . . +
f (n−1) (0)
(n − 1)!
x
n−1 +
f (n)
x
n+1
n!
x
n
⎞
⎠
=
1
n!
f
(n+2) (ξ)
x n+2 n
2 (n + 1)
2 (n + 2)
=
n
2(n + 1)
f
(n+2) (ξ)
x n+2
(n + 2)!
.
Il suffit pour conclure la démonstration de prendre θ =
ξ
x .
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