Chapitre II. Dérivation
II.3.28. On remarque d’abord que P est un polynôme de degré au plus m.
En dérivant l’égalité
(1 − y)
m+1 =
m+1
k=0
m + 1
k
(−1)
k y
k ,
on obtient
−(m + 1) (1 − y)
m =
m+1
k=1
m + 1
k
(−1)
k ky
k−1 .
(1)
En prenant y = 1, on a
0 =
m+1
k=1
m + 1
k
(−1)
k k.
(2)
On en déduit que P (m−1) (0) = 0. On dérive alors (1), on prend y = 1 et on
voit, avec (2), que P (m−2) (0) = 0. En poursuivant ce procédé, on montre que
P (j) (0) = 0 pour j = 0, 1, 2, . . . , m − 1. De plus, P (m) (0) = 0 car
0 = (1 − 1)
m+1 =
m+1
k=1
m + 1
k
(−1)
k .
La formule de Taylor implique alors P (x) ≡ 0.
II.3.29. [E. I. Poffald, Amer. Math. Monthly 97 (1990), 205-213]. On aura besoin
de la forme suivante de la formule de la moyenne pour les intégrales.
Théorème. Soit f et g des fonctions continues sur [a , b], g étant de signe
constant sur cet intervalle. Il existe alors ξ ∈ ]a , b[ tel que
b
a
f (x)g(x) dx = f (ξ)
b
a
g(x) dx.
Démonstration. On pose
m = min {f (x) : x ∈ [a , b]} et M = max {f (x) : x ∈ [a , b]} .
On suppose, par exemple, que g(x) > 0. On a mg(x) f (x)g(x) Mg(x). En
intégrant membre à membre cette inégalité, on obtient
m
b
a
g(x) dx
b
a
f (x)g(x) dx M
b
a
g(x) dx
et
m
b
a f (x)g(x) dx
b
a g(x) dx
M.
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